سؤال

 يک سيلندر افقي با طول 2l بوسيله‌ي يک پيستون عايق گرما به دو قسمت مساوي که هرکدام n مول گاز تک اتمي در دماي T است، تقسيم شده است. پيستون بوسيله‌ي دو فنر با ضريب کشساني K به دو انتهاي سيلندر وصل شده است. اگر مقدار گرماي Q به گاز سمت راست داده شود، پيستون به اندازه‌ي x=1/2  به سمت راست جابه‌جا مي‌شود. در اين حالت، مقدار گرماي 'Q را تعيين کنيد که از گاز سمت چپ در دماي T به يک ترموستات که در تمام مدت با گاز مبادله گرمايي دارد.

جواب

يک حالت مياني از مکان پيستون را در نظر مي‌گيريم که به اندازه‌ي y از محل ابتدايي جابه‌جا شده است. فرض کنيد که فشار گاز در قسمت راست محفظه، P₂ و در قسمت چپ P₁ باشد. چون پيستون در حالت تعادل است، حاصل جمع نيروهاي وارد بر آن صفر است:

(۱)

که S مساحت پيستون است.

کُل کار انجام شده طي جابه‌جايي کوچک بعدي پيستون Δy برابر ΔA₂₊ΔA₁₌ΔA است که ΔA₂ کار انجام شده به‌وسيله‌ي گاز سمت راست و ΔA₁ کار انجام شده توسط گاز سمت چپ است:

(۲) 

بنابراين با جابه‌جا شدن پيستون به‌اندازه‌ي x=l/2 کار کُل انجام شده توسط گاز برابر حاصل جمع انرژي‌هاي پتانسيل ذخيره شده در فنرهاست.

 (۳)

اگر به اندازه‌ي Q گرما به گاز سمت راست داده شود و گاز چپ مقدار 'Q گرما به ترموستات منتقل کند، کُل گرماي داده شده به سيستم برابر Q'-Q است. پس مي‌توانيم بنويسم (قانون اول ترموديناميک):

(۴) 

ΔU تغيير انرژي داخلي گاز است. از آنجايي که پيستون گرما را منتقل نمي‌کند، دماي گاز سمت چپ تغيير نمي‌کند، و تغيير در انرژي دروني گاز،(ΔU) فقط وابسته به گرم شدن گاز درون سمت راست به اندازه‌ي ΔT است. براي n مول گاز ايده‌آل داريم: ΔU=3/2nRΔT. تغيير دما ΔT را مي‌توان از شرايط پايدار در آخر فرايند پيدا کرد.

برطبق معادله‌ي حالت، فشار گاز در قسمت راست محفظه برابر است با

  (P=nR(T+ΔT)/ s(l+l/2  

از طرف ديگر اين بايد با حاصل جمع فشار گاز  (P'=nRT/ s(l-l/2  در سمت چپ و فشار  P"=2kl/ 2s  توليد شده توسط فنرها برابر باشد، يعني:

 (۵)

بنابراين در مي‌يابيم که:

 (۶)

در آخر، با استفاده از معادله ۴ به نتيجه زير مي‌رسيم:

(۷) 

سؤال

 يک سيلندر افقي با طول 2l بوسيله‌ي يک پيستون عايق گرما به دو قسمت مساوي که هرکدام n مول گاز تک اتمي در دماي T است، تقسيم شده است. پيستون بوسيله‌ي دو فنر با ضريب کشساني K به دو انتهاي سيلندر وصل شده است. اگر مقدار گرماي Q به گاز سمت راست داده شود، پيستون به اندازه‌ي x=1/2  به سمت راست جابه‌جا مي‌شود. در اين حالت، مقدار گرماي 'Q را تعيين کنيد که از گاز سمت چپ در دماي T به يک ترموستات که در تمام مدت با گاز مبادله گرمايي دارد.

جواب

يک حالت مياني از مکان پيستون را در نظر مي‌گيريم که به اندازه‌ي y از محل ابتدايي جابه‌جا شده است. فرض کنيد که فشار گاز در قسمت راست محفظه، P₂ و در قسمت چپ P₁ باشد. چون پيستون در حالت تعادل است، حاصل جمع نيروهاي وارد بر آن صفر است:

(۱)

که S مساحت پيستون است.

کُل کار انجام شده طي جابه‌جايي کوچک بعدي پيستون Δy برابر ΔA₂₊ΔA₁₌ΔA است که ΔA₂ کار انجام شده به‌وسيله‌ي گاز سمت راست و ΔA₁ کار انجام شده توسط گاز سمت چپ است:

(۲) 

بنابراين با جابه‌جا شدن پيستون به‌اندازه‌ي x=l/2 کار کُل انجام شده توسط گاز برابر حاصل جمع انرژي‌هاي پتانسيل ذخيره شده در فنرهاست.

 (۳)

اگر به اندازه‌ي Q گرما به گاز سمت راست داده شود و گاز چپ مقدار 'Q گرما به ترموستات منتقل کند، کُل گرماي داده شده به سيستم برابر Q'-Q است. پس مي‌توانيم بنويسم (قانون اول ترموديناميک):

(۴) 

ΔU تغيير انرژي داخلي گاز است. از آنجايي که پيستون گرما را منتقل نمي‌کند، دماي گاز سمت چپ تغيير نمي‌کند، و تغيير در انرژي دروني گاز،(ΔU) فقط وابسته به گرم شدن گاز درون سمت راست به اندازه‌ي ΔT است. براي n مول گاز ايده‌آل داريم: ΔU=3/2nRΔT. تغيير دما ΔT را مي‌توان از شرايط پايدار در آخر فرايند پيدا کرد.

برطبق معادله‌ي حالت، فشار گاز در قسمت راست محفظه برابر است با

  (P=nR(T+ΔT)/ s(l+l/2  

از طرف ديگر اين بايد با حاصل جمع فشار گاز  (P'=nRT/ s(l-l/2  در سمت چپ و فشار  P"=2kl/ 2s  توليد شده توسط فنرها برابر باشد، يعني:

 (۵)

بنابراين در مي‌يابيم که:

 (۶)

در آخر، با استفاده از معادله ۴ به نتيجه زير مي‌رسيم:

(۷)