مسابقه شماره ۲۴۰
سوال
بهداد مشغول انجام بازی «دامبلدور» است. این بازی به این صورت انجام می‌شود :
7 سنگ با شماره‌های 1 تا 7 به صورت مقابل قرار دارند. در حرکت iام بازی , بهداد به صورت یک پا 1 - i سنگ را در جهت ساعت گرد رد کرده و به صورت جفت پا روی سنگ بعد می‌پرد و می‌ایستد. برای مثال بهداد در شروع بازی روی سنگ 1 است. او در حرکت اول جفت پا روی سنگ 2 می‌پرد. در حرکت دوم یک پا روی سنگ 3 پریده و سپس جفت پا روی سنگ 4 می‌پرد.
در حرکت سوم , یک پا روی سنگ‌های 5 و 6 پریده و سپس جفت پا روی سنگ 7 می‌پرد و بالاخره , در حرکت چهارم , به صورت یک پا روی سنگ‌های 1 , 2 و 3 می‌پرد و روی سنگ 4 به صورت جفت پا می‌ایستد.
آیا می‌توانید مشخص کنید بهداد پس از حرکت 1381 ام روی کدام سنگ خواهد بود ؟
پاسخ
اگر روی سنگ k ام باشیم و حرکت بعدی حرکت mام باشد , با این احتساب سنگی که به صورت جفت پا به روی آن پریده می‌شود مجموعا m شماره طی می‌شود. بنابراین بعد از حرکت 1381 مجموعا 1381 + ... + 3 + 2 + 1 + 1 یعنی 954272 شماره طی می‌شود و بعد از آن حرکت بر روی شماره 954272 قرار خواهیم داشت که اگر آن عدد را بر 7 تقسیم کنیم باقی‌مانده 4 می‌آورد به این معنا که در آخرین حرکت به صورت جفت پا به روی سنگ شماره 4 پریده شده است. لازم به ذکر است که حرکت اول از روی سنگ شماره 1 بوده است , بنابراین به مجموع اعداد از 1 تا 1381 عدد 1 اضافه شده است.