سؤال

 يک محفظه‌ي استوانه‌اي شفاف با ارتفاع (h<<R_ves) که R_ves شعاع محفظه است، با يک گاز ايده آل با جرم مولي µ در دماي T و فشار P₀ پُر شده است. وابستگي ضريب شکست گاز (n)، به چگالي آن (ρ ) از رابطه‌ي n=1+αρ تبعيت مي‌کند. محفظه با سرعت زاويه‌اي ω طول محور خود مي‌چرخد. يک پرتو نور باريک موازي، با شعاع r_beam در امتداد محور محفظه به آن تابانده مي‌شود. 

 پرده‌اي عمود بر محور محفظه در فاصله‌ي L، پشت آن قرار دارد.  با فرض اينکه تغيير در فشار گاز در نتيجه‌ي چرخش در هر نقطه از محفظه در مقايسه با P₀ کوچک است،  شعاع لکه‌اي (R) که روي پرده تشکيل مي‌شود، را بدست آوريد. تأثير سطوح انتهايي محفظه روي مسير پرتو قابل صرف نظر کردن است.

جواب

ابتدا توزيع فشار گاز در نزديکي محور محفظه را تعيين مي‌کنيم. يک عنصر حجم از گاز، ΔrΔs  را در نظر مي‌گيريم (شکل). شتاب جانب مرکز اين عنصر حجم a=ω²r با اختلاف فشارهاي متناظر تأمين مي‌شود. 

بنابراين براي تغييرات فشار مي‌توانيم معادله‌ي زير را به دست آوريم:

ازآنجايي که رابطه‌ي μp=ρRT براي يک گاز ايده‌آل برقرار است، داريم:

بنابر فرض r≤r_beam، خواهيم داشت: r(r)-p₀<< p₀ بنابراين:

براي چگالي گاز در r≤ r_beam به دست مي‌آوريم:

و براي ضريب شکست نتيجه مي‌شود:

حال زاويه‌ي شکست پرتويي را که در فاصله r از محور محفظه‌ي درون آن بگذرد را مي‌يابيم. راه نوري درون محفظه برابر است با n(r)l اختلاف راه نوري δ_opt بين دو پرتو نزديک بهم که از محفظه بيرون مي‌آيند، برابر اختلاف راه هندسي δ ناشي از انحراف پرتوها از جهت اوليه انتشار است. در اين حالت، تداخل پرتوها موجب تشديد آن‌ها مي‌شود (اصل هويگنس).

از شکل زير نتيجه مي‌شود:

در نتيجه:

از اين رابطه نتيجه مي‌گيريم که اگر پرتو باريکي از نور را در نظر بگيريم، به طوري که زاويه‌ي انحراف ... کوچک باشد، آنگاه ϕαr. يعني محفظه‌ي چرخان مانند يک عدسي واگرا با فاصله‌ي کانوني F=(2kl)^-1 عمل مي‌کند. بنابراين، براي بيشينه زاويه انحراف داريم:

درنتيجه شعاع خواسته شده براي لکه‌ي روي پرده برابر است با:

در تقريب عدسي واگرا به دست مي‌آوريم:

سؤال

 يک محفظه‌ي استوانه‌اي شفاف با ارتفاع (h<<R_ves) که R_ves شعاع محفظه است، با يک گاز ايده آل با جرم مولي µ در دماي T و فشار P₀ پُر شده است. وابستگي ضريب شکست گاز (n)، به چگالي آن (ρ ) از رابطه‌ي n=1+αρ تبعيت مي‌کند. محفظه با سرعت زاويه‌اي ω طول محور خود مي‌چرخد. يک پرتو نور باريک موازي، با شعاع r_beam در امتداد محور محفظه به آن تابانده مي‌شود. 

 پرده‌اي عمود بر محور محفظه در فاصله‌ي L، پشت آن قرار دارد.  با فرض اينکه تغيير در فشار گاز در نتيجه‌ي چرخش در هر نقطه از محفظه در مقايسه با P₀ کوچک است،  شعاع لکه‌اي (R) که روي پرده تشکيل مي‌شود، را بدست آوريد. تأثير سطوح انتهايي محفظه روي مسير پرتو قابل صرف نظر کردن است.

جواب

ابتدا توزيع فشار گاز در نزديکي محور محفظه را تعيين مي‌کنيم. يک عنصر حجم از گاز، ΔrΔs  را در نظر مي‌گيريم (شکل). شتاب جانب مرکز اين عنصر حجم a=ω²r با اختلاف فشارهاي متناظر تأمين مي‌شود. 

بنابراين براي تغييرات فشار مي‌توانيم معادله‌ي زير را به دست آوريم:

ازآنجايي که رابطه‌ي μp=ρRT براي يک گاز ايده‌آل برقرار است، داريم:

بنابر فرض r≤r_beam، خواهيم داشت: r(r)-p₀<< p₀ بنابراين:

براي چگالي گاز در r≤ r_beam به دست مي‌آوريم:

و براي ضريب شکست نتيجه مي‌شود:

حال زاويه‌ي شکست پرتويي را که در فاصله r از محور محفظه‌ي درون آن بگذرد را مي‌يابيم. راه نوري درون محفظه برابر است با n(r)l اختلاف راه نوري δ_opt بين دو پرتو نزديک بهم که از محفظه بيرون مي‌آيند، برابر اختلاف راه هندسي δ ناشي از انحراف پرتوها از جهت اوليه انتشار است. در اين حالت، تداخل پرتوها موجب تشديد آن‌ها مي‌شود (اصل هويگنس).

از شکل زير نتيجه مي‌شود:

در نتيجه:

از اين رابطه نتيجه مي‌گيريم که اگر پرتو باريکي از نور را در نظر بگيريم، به طوري که زاويه‌ي انحراف ... کوچک باشد، آنگاه ϕαr. يعني محفظه‌ي چرخان مانند يک عدسي واگرا با فاصله‌ي کانوني F=(2kl)^-1 عمل مي‌کند. بنابراين، براي بيشينه زاويه انحراف داريم:

درنتيجه شعاع خواسته شده براي لکه‌ي روي پرده برابر است با:

در تقريب عدسي واگرا به دست مي‌آوريم: