چندجملهاي
با ضرايب صحيح
اشارهآنچه با عنوان «چكيده» در اول مسابقهها و زنگتفريحها مشاهده ميكنيد صرفاً مخصوص معلمان، مربيان، كارشناسان محترم آموزشي و ساير علاقهمندان است.
قضاياي ذيل را فرض شده ميانگاريم: قضيهي شمارهي 1فرض كنيد عدد طبيعي بوده و و اعدادي صحيح باشند. در اين صورت شرط لازم و كافي براي اينكه رابطهي همنهشتي ذيل برقرار باشد:
(رابطهي 1)
بهعبارت ديگر عددي صحيح مانند وجود داشته باشد كه: آن است كه رابطهي ذيل برقرار باشد:
(رابطهي 2)
در رابطهي 2 منظور از مقسومعليه مشترك و است.
قضيهي شمارهي 2 – قضيهي «باقيماندهي چيني» (Chinese Remainder Theorem)فرض كنيد اعداد طبيعي باشند كه دو به دو «نسبت به هم اول» هستند. همچنين فرض كنيد اعدادي صحيح باشند. در اينصورت دستگاه معادلههاي همنهشتي ذيل جواب داشته و هر دو جواب آن بهپيمانهي همنهشت هستند:
سؤالتمام چندجملهايهاي با ضرايب صحيح را بيابيد بهگونهاي كه رابطههاي ذيل برقرار باشد:
(رابطهي 4)
(رابطهي 5)
نشان دهيد كه مقدار به نوع چندجملهاي بستگي ندارد و مقدار آن را نيز بيابيد.
راهنمايياين مسأله ممكن است با استفاده از نتيجهي قطعي ذيل نيز حل شود:
اگر چندجملهاي با ضرايب صحيح باشد براي هر عدد صحيح و ، مضربي از است.
در حالت خاص براي حالتي كه رابطهي ذيل برقرار باشد:
(رابطهي 6)
مضربي از خواهد بود.
از آنجايي كه چندجملهاي با ضرايب صحيح ميتواند بهشكل ذيل نوشته شود:
(رابطهي 7)
كه در آن يك چندجملهاي با ضرايب صحيح است در نتيجه رابطهي ذيل براي همهي مقادير صحيح برقرار خواهد بود:
(رابطهي 8)
بدينترتيب روابط ذيل صادق خواهد بود:
(رابطهي 9)
(رابطهي 10)
از آنجايي كه بزرگترين مقسومعليه مشترك 7 و 100 عدد 1 است (نسبت به هم اول هستند يا )، ميتوانيم از قضيهي «باقيماندهي چيني» (Chinese Remainder Theorem) استفاده كرده رابطهي ذيل را بهدست آوريم:
(رابطهي 11)
بنابراين تنها مقدار در برابر 687 خواهد بود.