سيزده ضلعي منتظم
شكل 1.
فرض كنيد يك 13 ضلعي منتظم باشد. براي مقادير اقطار سيزدهضلعي مذكور بهصورت ذيل تعريف ميشوند (شكل 1):
(رابطهي 1)
13 قطري از اين سيزدهضلعي كه داراي طول برابر با هستند بر يك سيزدهضلعي منتظم كوچكتر محيط ميشوند كه طول اضلاعش را با مشخص ميكنيم.
مقدار را بهصورت ذيل بيان كنيد:
(رابطهي 2)
كه در آن ضرايب اعداد صحيح هستند.
شكل 2.
باشد. از آنجايي كه ، و اقطار 13 ضلعي با طول بوده طول 13 ضلعي كوچكتر است بنابراين رابطهي ذيل برقرار است (شكل 2):
(رابطهي 3)راهنمايي 2در هندسه، زماني كه بهدنبال روابط بين طولها هستيم اغلب براي محاسبهي طول پارهخط مفيد است كه تمام طولهاي مورد سؤال را با هم جمع ببنديم. در راهحل ذيل، اين پارهخطها با استفاده از تقارن 13 ضلعي منتظم ايجاد شده است.
جوابفرض كنيد موارد ذيل برقرار باشد:
- نقطهي محل تقاطع خطوط و - نقطهي محل تقاطع خطوط و - نقطهي محل تقاطع خطوط و - نقطهي محل تقاطع خطوط و از آنجايي كه ، و اقطار 13 ضلعي با طول بوده طول 13 ضلعي كوچكتر است بنابراين رابطهي ذيل برقرار است:
(رابطهي 3)
با استفاده از «تقارن» رابطهي ذيل بهدست خواهد آمد:
(ربطهي 4)
متغير را بهصورت ذيل تعريف ميكنيم:
(رابطهي 5)
بنابراين رابطههاي ذيل برقرار است:
(رابطهي 6)
(رابطهي 7)
اقطار و با هم همچنين اقطار و با هم موازي هستند؛ بنابراين چهارضلعي يك «متوازيالاضلاع» است. بنابراين رابطههاي ذيل برقرار خواهد بود:
(رابطهي 8)
(رابطهي 9)
(رابطهي 10)
از آنجايي كه و با هم و و با هم موازي هستند چهارضلعي «متوازيالاضلاع» خواهد بود. بنابراين رابطهي ذيل برقرار خواهد بود:
(رابطهي 11)
با جايگذاري رابطهي 11 در رابطهي 10، رابطههاي ذيل بهدست خواهد آمد:
(رابطهي 12)
(رابطهي 13)
(رابطهي 14)
نهايتاً از آنجايي كه و با هم و و با هم موازي هستند چهارضلعي يك متوازيالاضلاع است. بنابراين رابطهي ذيل برقرار خواهد بود:
(رابطهي 15)
با جايگذاري رابطهي 15 در رابطهي 14، رابطههاي بهدست خواهد آمد:
(رابطهي 16)
(رابطهي 17)
(رابطهي 18)
از رابطهي فوق بهسادگي رابطهي ذيل را ميتوانيم بيابيم:
(رابطهي 19)
از آنجايي كه رابطهي ذيل برقرار است:
(رابطهي 20)
رابطهي ذيل را خواهيم داشت:
(رابطهي 21)