هفتضلعي منتظم
اشارهآنچه با عنوان «چكيده» در اول مسابقهها و زنگتفريحها مشاهده ميكنيد صرفاً مخصوص معلمان، مربيان، كارشناسان محترم آموزشي و ساير علاقهمندان است.
چكيدهاهداف آموزشياهداف آموزشي در حوزهي شناختي – دانش - «دانش راهها و وسايل برخورد با امور جزوي» > «دانش روشها و روششناسي»اهداف آموزشي در حوزهي شناختي - تواناييها و مهارتهاي ذهني - «فهميدن» > «ترجمه» > «تفسير» - «فهميدن» > «ترجمه» > «كاربستن» - «فهميدن» > «ترجمه» > «تركيب» > «توليد يك نقشه يا مجموعه اقدامهاي پيشنهادي» - «فهميدن» > «ترجمه» > «تركيب» > «استنتاج مجموعهاي از روابط انتزاعي»نتايج مورد نظر - آشنايي با اعداد مختلط و خواص آن - آشنايي با حل مسائل هندسي با استفاده از اعداد مختلط محتواي آموزشي - نظريهي اعداد - هندسه.
سؤالاول - فرض كنيد يك هفتضلعي منتظم باشد. ثابت كنيد رابطهي ذيل همواره برقرار است:
(رابطهي 1)
دوم – فرض كنيد يك پانزدهضلعي منتظم باشد. ثابت كنيد رابطهي ذيل همواره برقرار است:
(رابطهي 2)
سوم – فرض كنيد يك ضلعي منتظم محاط در يك دايره بهشعاع باشد. ثابت كنيد براي هر نقطهي و هر عدد طبيعي رابطهي ذيل همواره برقرار است:
(رابطهي 3)
راهنماييالف - عدد مختلطبعضي كشف اعداد «مختلط» (Complex) را به رياضيدان ايتاليايي «گيرولامو كاردانو» (Girlamo Cardano) منتسب ميكنند. وي تلاش ميكرد جواب «معادلهها از درجهي 3» (Cubic Equations) را بيابد. اين معادلهها بعضاً منجر به محاسبههاي ريشههاي دوم اعداد «منفي» ميشد.
وي براي اينمنظور از «جزو موهومي» (Imaginary Unit) استفاده كرده بدينشكل آن را تعريف نمود:
(رابطهي 4)
يك عدد «مختلط» عموماً بهشكل ذيل نوشته ميشوند:
در اين صورت بخش «حقيقي» و بخش «موهومي» عدد «مختلط» مذكور ناميده ميشود.
ياداوري - براي توضيح بيشتر بهنشاني ذيل مراجعه فرماييد:(المپياد رياضي > آموزش > هندسهي اعداد مختلط > اعداد مختلط)ب - مزدوج عدد مختلطاگر عددي مختلط نظير ذيل باشد:
را «مزدوج» (Conjugate) آن ميگويند و از رابطهي ذيل بهدست ميآيد:
ياداوري - براي توضيح بيشتر بهنشاني ذيل مراجعه فرماييد:(المپياد رياضي > آموزش > هندسهي اعداد مختلط > اعداد مختلط > zبار)قضايايي از اعداد مختلطج – قضيهي خطوط موازي، عمود بر هم و متقاطعسهنقطهي ، و را در نظر بگيريد؛ براي اين سه نقطه چهار حالت متصور است:
- پاي عمود نقطهي دلخواه بر روي وتر نقطهي با ويژگي ذيل است:
هـ – شرط لازم و كافي براي آنكه نقاط ، ، و به يك دايره تعلق داشته باشند آن است كه رابطهي ذيل برقرار باشد:
ياداوري - براي توضيح بيشتر بهنشاني ذيل مراجعه فرماييد:(المپياد رياضي > آموزش > هندسهي اعداد مختلط > همخط بودن و همدايره بودن)و - شرط لازم و كافي براي آنكه مثلثهاي و مشابه بوده و ترتيب نامگذاري آنها متناسب با نقاط متناظر باشند آن است كه رابطهي ذيل برقرار باشد:
ز - مساحت يك مثلث از رابطهي ذيل بهدست ميآيد:
ح – قضاياي ذيل را بدون اثبات ميپذيريم:
شرط لازم و كافي براي آنكه نقطهي پارهخط را بهنسبت تقسيم كند آن است كه رابطهي ذيل برقرار باشد:
شرط لازم و كافي براي آنكه محل تقاطع ميانههاي مثلث باشد آن است كه رابطهي ذيل برقرار باشد:
ط - فرض كنيد دايرهاي بهشعاع واحد (دايرهي مثلثاتي) در يك مثلث محاط شده باشد بهگونهاي كه با اضلاع ، و بهترتيب در نقاط ، و مماس باشد:
- طول اضلاع مثلث از روابط ذيل بهدست خواهد آمد:
- محل تقاطع ارتفاعها از رابطهي ذيل بهدست خواهد آمد:
ي – قضيه براي هر مثلث كه در يك دايرهي با شعاع واحد (دايرهي مثلثاتي) محاط شده است تعدادي عدد نظير: ، و وجود دارد بهگونهاي كه روابط ذيل برقرار باشد:
همچنين ، و بهترتيب نقاط مياني كمانهاي ، و هستند كه شامل ، و نميشوند.
- اگر محل تقاطع ارتفاعهاي مثلث است در اينصورت رابطهي ذيل برقرار خواهد بود:
- اگر محل تقاطع ميانههاي مثلث است در اينصورت رابطهي ذيل برقرار خواهد بود:
ل – اگر نقطهي با دوران نقطهي حول نقطهي با زاويهي (در جهت مثبت) بهدست آيد در اين صورت رابطهي ذيل برقرار خواهد بود: