مي‌خواهيم عبارت زير را حساب كنيم:

100² – 99² + 98² – 97² + 96² - …. + 2² – 1²

براي بدست آوردن حاصل اين عبارت، از فرمول x² – y² = (x +y)(x-y) استفاده مي‌كنيم و عبارت فوق را به صورت زير در مي‌آوريم:

(100 +99) (100 – 99) + (98 +97)(98 – 97) + (96 +95) (96 – 95) + … + (2 + 1)(2 – 1)

همانطور كه مي‌بينيد حاصل يكي از پرانتزها در هر عبارت برابر 1 مي‌شود. پس مي‌توانيم با ضرب پرانتزهاي باقي‌مانده در 1 به عبارت زير برسيم:

100 + 99 + 98 + 97 + 96 + … + 2 + 1

و مي‌دانيم حاصل عبارت بالا برابر 5050 مي‌شود.

حال مي‌توانيد الگوي تساوي‌هاي زير را پيدا كنيد؟

بياييد آخرين رابطه را ثابت كنيم تا به يك تنيجه كلي برسيم. اگر همه عبارت‌ها را به سمت راست ببريم و 36² را در سمت چپ تساوي نگه مي‌داريم كه مي‌شود:

36² = (41² – 40²) + (42² – 39²) + (43² – 38²) + (44² – 37²)

توجه كنيد كه ما بزرگترين و كوچكترين جمله را با هم جفت كرده‌ايم و به همين ترتيب بزرگ‌ترين جمله بعدي با كوچكترين جمله بعدي و ... . حالا از فرمول مربع‌ها استفاده مي‌كنيم و خواهيم داشت:

و در نهايت بدست آورديم كه

36² = 9² . 4² = 81.16

حالا مي‌توانيم جمله عمومي را بدست آوريم.

براي n>= 1 ادعا مي‌كنيم كه:

[n(2n+1)]² + … + [2n(n+1)]² = (2n² + 2n +1)² + … + (2n² + 3n)²

همانند قبل كه همه جملات به غير از يكي را به يك طرف برديم، اگر اين كار را براي اين جمله نيز تكرار كنيم خواهيم داشت:

حال به فرمولي براي جمع n عدد فرد نياز داريم.

1 + 3 + 5 + 7 + … + 2n-1

ميدانيم كه اين برابر مجموع يك تصاعد حسابي است پس با توجه به شكل زير مي‌بينيم كه جواب اين جمع برابر n² مي‌شود.

با استفاده از فرمول‌امان براي جمع n عدد فرد خواهيم داشت:

[n(2n+1)]² = (2n +1)² n²

كه كاملا درست است.

مي‌خواهيم عبارت زير را حساب كنيم:

100² – 99² + 98² – 97² + 96² - …. + 2² – 1²

براي بدست آوردن حاصل اين عبارت، از فرمول x² – y² = (x +y)(x-y) استفاده مي‌كنيم و عبارت فوق را به صورت زير در مي‌آوريم:

(100 +99) (100 – 99) + (98 +97)(98 – 97) + (96 +95) (96 – 95) + … + (2 + 1)(2 – 1)

همانطور كه مي‌بينيد حاصل يكي از پرانتزها در هر عبارت برابر 1 مي‌شود. پس مي‌توانيم با ضرب پرانتزهاي باقي‌مانده در 1 به عبارت زير برسيم:

100 + 99 + 98 + 97 + 96 + … + 2 + 1

و مي‌دانيم حاصل عبارت بالا برابر 5050 مي‌شود.

حال مي‌توانيد الگوي تساوي‌هاي زير را پيدا كنيد؟

بياييد آخرين رابطه را ثابت كنيم تا به يك تنيجه كلي برسيم. اگر همه عبارت‌ها را به سمت راست ببريم و 36² را در سمت چپ تساوي نگه مي‌داريم كه مي‌شود:

36² = (41² – 40²) + (42² – 39²) + (43² – 38²) + (44² – 37²)

توجه كنيد كه ما بزرگترين و كوچكترين جمله را با هم جفت كرده‌ايم و به همين ترتيب بزرگ‌ترين جمله بعدي با كوچكترين جمله بعدي و ... . حالا از فرمول مربع‌ها استفاده مي‌كنيم و خواهيم داشت:

و در نهايت بدست آورديم كه

36² = 9² . 4² = 81.16

حالا مي‌توانيم جمله عمومي را بدست آوريم.

براي n>= 1 ادعا مي‌كنيم كه:

[n(2n+1)]² + … + [2n(n+1)]² = (2n² + 2n +1)² + … + (2n² + 3n)²

همانند قبل كه همه جملات به غير از يكي را به يك طرف برديم، اگر اين كار را براي اين جمله نيز تكرار كنيم خواهيم داشت:

حال به فرمولي براي جمع n عدد فرد نياز داريم.

1 + 3 + 5 + 7 + … + 2n-1

ميدانيم كه اين برابر مجموع يك تصاعد حسابي است پس با توجه به شكل زير مي‌بينيم كه جواب اين جمع برابر n² مي‌شود.

با استفاده از فرمول‌امان براي جمع n عدد فرد خواهيم داشت:

[n(2n+1)]² = (2n +1)² n²

كه كاملا درست است.