فرض كنيد كه ماه از مين مطابق شكل زير ديده شود. دراين صورت مساحت هلال ماه برابر است با:

دقت كنيد اين رابطه براي حالتي كه نصف بيشتر ماه روشن است، نيز صادق است. ولي در اين حالت b<0 در نظر گرفته مي‌شود. داريم:

حال نسبت b/a را بر حسب تتا بدست مي‌آوريم:

موقعيت زمين و ماه در شكل پايين نشان داده شده است. فرض كنيد خورشيد بالا و بسيار دور از ماه و زمين باشد. در اين صورت نيمه‌ي بالايي ماه روشن مي‌شود. مقدار a و b با فرض دور بودن زمين از ماه نشان داده شده است. از شكل ديده مي‌شود كه:

لذا نسبت مساحت هلال روشن به مساحت قرص ماه برابر است با:

فرض كنيد كه ماه از مين مطابق شكل زير ديده شود. دراين صورت مساحت هلال ماه برابر است با:

دقت كنيد اين رابطه براي حالتي كه نصف بيشتر ماه روشن است، نيز صادق است. ولي در اين حالت b<0 در نظر گرفته مي‌شود. داريم:

حال نسبت b/a را بر حسب تتا بدست مي‌آوريم:

موقعيت زمين و ماه در شكل پايين نشان داده شده است. فرض كنيد خورشيد بالا و بسيار دور از ماه و زمين باشد. در اين صورت نيمه‌ي بالايي ماه روشن مي‌شود. مقدار a و b با فرض دور بودن زمين از ماه نشان داده شده است. از شكل ديده مي‌شود كه:

لذا نسبت مساحت هلال روشن به مساحت قرص ماه برابر است با: