مقدمه

در ریاضیات نتایج عجیب و باورنکردنی بسیار است. در این‌جا به یکی از این نتایج که مربوط به کارهای ریاضی‌دانی است که ‌ از دید بسیاری از ریاضی‌دانان، بزرگ‌ترین ریاضی‌دان تاریخ بشریت است، خواهیم پرداخت.

و اما ...

در نظریه اعداد یک تابع حسابی به نام r(n)  وجود دارد که بنا به تعریف، عبارت است از تعداد راه‌هایی که می‌توان یک عدد صحیح نامنفی n را به‌صورت مجموع مربعات دو عدد صحیح نوشت. به بیان دقیق‌تر، r(n)  تعداد جفت‌های مرتب (x,y) است به قسمی که n=x^۲+y^۲. مثلا r(۵)=۸، زیرا

این عبارات، به‌ترتیب، متناظراند با جفت‌های مرتب

(-۱,-۲) ,(-۲,-۱) ,(۱,-۲) ,(-۲,۱) ,(-۱,۲) ,(۲,-۱) ,(۱,۲) ,(۲,۱)

چند تا از مقادیر این تابع عبارت‌اند از

r(0)=۱ ,r(۱)=۴ ,r(۲)=۴ ,r(۳)=0 ,r(۴)=۴ ,r(۵)=۸ ,r(۷)=0 ,r(۱۲)=0.

در باره‌ی r(n)  احکام متعددی را می‌توان ثابت کرد، مثلا، r(n)=0 اگر n به شکل ۴k+۳ باشد (یعنی، اگر n جمله‌ای از جملات تصاعد عددی ۳, ۷, ۱۱, ۱۵, ۱۹, ۲۳, … باشد). بنابراین، وقتی n اعداد صحیح نامنفی ۰, ۱, ۲, ۳, … را اختیار می‌کند مقدار تابع بینهایت بار صفر می‌شود. ولی تابع r(n)  مقادیر بزرگی نیز دارد. در واقع پیدا کردن  nی که موجب شود r(n)  به قدر دلخواه بزرگ باشد دشوار نیست. این تابع بسیار بی‌نظم است. در چنین حالتی خوب است به مقدار متوسط r(n)  روی مجموعه‌ای از مقادیر متوالی n  توجه کنیم. این‌جاست که تابع به طرز عجیبی خوش‌رفتار است.

مقدار متوسط r(n)  روی اعداد صحیح ۰ ,۱ ,۲, … ,z-۱ عبارت است از

اگر صورت این تابع را R(z)  بنامیم، این مقدار متوسط را می‌توانیم به طور خلاصه‌تر R(z)/z  نشان دهیم. مقدار متوسطr(n)  روی کل حوزه‌ی اعداد صحیح نامنفی، به صورت حد این عبارت وقتی z به طور نامتناهی افزایش می‌یابد، یعنی به صورت

 تعریف می‌شود. به شرط این‌که این حد موجود باشد. معلوم می‌شود که این حد موجود و برابر π است. پس به طور متوسط، یک عدد صحیح نامنفی را به π صورت می‌توان به شکل مجموع مربعات دو عدد صحیح نوشت. ممکن است در شگفت باشید که عدد π چه رابطه‌ای می‌تواند با r(n)  داشته باشد؟ و عجیب این است که، نتیجه‌ی بالا نه پیچیده است و نه ریزه‌کاری خاصی دارد ولی فوق‌العاده آموزنده و بسیار جالب است. گاوس ریاضی‌دان آلمانی (۱۷۷۷-۱۸۵۵) که به امیر ریاضیات شهرت دارد، اثباتی در حوالی سال  ۱۸۰۰ (یعنی در سن ۲۳ سالگی)  ارائه کرده‌است.

برای این اثبات خواننده‌ی علاقه‌مند می‌تواند به کتاب زیر مراجعه کند.
D. Hilbert and S. Cohn-Vossen, Geometry and the Imagination, Chelsea, 1952, New York.

مقدمه

در ریاضیات نتایج عجیب و باورنکردنی بسیار است. در این‌جا به یکی از این نتایج که مربوط به کارهای ریاضی‌دانی است که ‌ از دید بسیاری از ریاضی‌دانان، بزرگ‌ترین ریاضی‌دان تاریخ بشریت است، خواهیم پرداخت.

و اما ...

در نظریه اعداد یک تابع حسابی به نام r(n)  وجود دارد که بنا به تعریف، عبارت است از تعداد راه‌هایی که می‌توان یک عدد صحیح نامنفی n را به‌صورت مجموع مربعات دو عدد صحیح نوشت. به بیان دقیق‌تر، r(n)  تعداد جفت‌های مرتب (x,y) است به قسمی که n=x^۲+y^۲. مثلا r(۵)=۸، زیرا

این عبارات، به‌ترتیب، متناظراند با جفت‌های مرتب

(-۱,-۲) ,(-۲,-۱) ,(۱,-۲) ,(-۲,۱) ,(-۱,۲) ,(۲,-۱) ,(۱,۲) ,(۲,۱)

چند تا از مقادیر این تابع عبارت‌اند از

r(0)=۱ ,r(۱)=۴ ,r(۲)=۴ ,r(۳)=0 ,r(۴)=۴ ,r(۵)=۸ ,r(۷)=0 ,r(۱۲)=0.

در باره‌ی r(n)  احکام متعددی را می‌توان ثابت کرد، مثلا، r(n)=0 اگر n به شکل ۴k+۳ باشد (یعنی، اگر n جمله‌ای از جملات تصاعد عددی ۳, ۷, ۱۱, ۱۵, ۱۹, ۲۳, … باشد). بنابراین، وقتی n اعداد صحیح نامنفی ۰, ۱, ۲, ۳, … را اختیار می‌کند مقدار تابع بینهایت بار صفر می‌شود. ولی تابع r(n)  مقادیر بزرگی نیز دارد. در واقع پیدا کردن  nی که موجب شود r(n)  به قدر دلخواه بزرگ باشد دشوار نیست. این تابع بسیار بی‌نظم است. در چنین حالتی خوب است به مقدار متوسط r(n)  روی مجموعه‌ای از مقادیر متوالی n  توجه کنیم. این‌جاست که تابع به طرز عجیبی خوش‌رفتار است.

مقدار متوسط r(n)  روی اعداد صحیح ۰ ,۱ ,۲, … ,z-۱ عبارت است از

اگر صورت این تابع را R(z)  بنامیم، این مقدار متوسط را می‌توانیم به طور خلاصه‌تر R(z)/z  نشان دهیم. مقدار متوسطr(n)  روی کل حوزه‌ی اعداد صحیح نامنفی، به صورت حد این عبارت وقتی z به طور نامتناهی افزایش می‌یابد، یعنی به صورت

 تعریف می‌شود. به شرط این‌که این حد موجود باشد. معلوم می‌شود که این حد موجود و برابر π است. پس به طور متوسط، یک عدد صحیح نامنفی را به π صورت می‌توان به شکل مجموع مربعات دو عدد صحیح نوشت. ممکن است در شگفت باشید که عدد π چه رابطه‌ای می‌تواند با r(n)  داشته باشد؟ و عجیب این است که، نتیجه‌ی بالا نه پیچیده است و نه ریزه‌کاری خاصی دارد ولی فوق‌العاده آموزنده و بسیار جالب است. گاوس ریاضی‌دان آلمانی (۱۷۷۷-۱۸۵۵) که به امیر ریاضیات شهرت دارد، اثباتی در حوالی سال  ۱۸۰۰ (یعنی در سن ۲۳ سالگی)  ارائه کرده‌است.

برای این اثبات خواننده‌ی علاقه‌مند می‌تواند به کتاب زیر مراجعه کند.
D. Hilbert and S. Cohn-Vossen, Geometry and the Imagination, Chelsea, 1952, New York.