زنگ‌تفریح شماره ۱۵۱

---

 

اشعار آفریده‌ی نادان‌هایی مثل من هستند، در صورتی که فقط خدا می‌تواند یک درخت بیافریند. جویس کیلمر

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

مقدمه

در عمل، تقریبا هرگز، نمی‌توانیم به مقدار دقیق کمیت‌ها دست بیابیم.  هیچ وزنی، هر قدر دقیق محاسبه شده باشد، نمی‌تواند معرف دقت مطلق وزن یک چیز باشد. هر دماسنجی، درجه‌ی حرارت را با کم و بیش اشتباه نشان می‌دهد، هیچ آمپرمتری، شدت جریان برق را با دقت مطلق نشان نمی‌دهد و غیره. در ضمن، چشم ما، در موقعیتی نیست که بتواند اندازه‌هایی را که بر روی ابزارها ثبت می‌شود، با دقت مطلق، بخواند. بنابراین، همه جا، به جای تکیه بر مقدارهای واقعی، باید با مقدارهای تقریبی کار کنیم.

اگر 'a مقدار تقریبی کمیت a باشد، آن وقت تفاضل ∆ = a - a'  را خطای تقریب می‌نامند. مثلا، اگر به جای عدد ۳/۷۵۶ ، مقدار تقریبی آن، ۳/۷  را در نظر بگیریم، آن‌وقت، خطا برابر است با

∆ = 3/756 - 3/7 = 0/056

و اگر ۳/۸  را به عنوان مقدار تقریبی مورد استفاده قرار دهیم، خطای حاصل برابر است با:

∆ = 3/756 - 3/8 = 0/044

در عمل، اغلب، به جای خطای تقریب ∆، از قدر مطلق آن |∆|، استفاده می‌کنند. از این‌جا به بعد، قدر مطلق خطای تقریب را، به طور ساده، خطای مطلق می‌نامیم.

یک تقریب را بهتر از دیگری می‌دانند، وقتی که خطای مطلق اولی، از خطای مطلق دومی کمتر باشد. مثلا تقریب ۳/۸  برای عدد ۳/۷۵۶ ، بهتر از تقریب ۳/۷ برای آن است، زیرا برای تقریب اولی |∆|=0/044  و برای تقریب دومی |∆|=0/056  و در ضمن 0/044 < 0/056   عدد 'a را مقدار عدد a با دقت تا ε می‌نامند، وقتی که خطای مطلق، این تقریب، از ε کوچک‌تر باشد:

|a - a'|< ε

مثلا ۳/۶ ، مقدار تقریبی عدد ۳/۶۷۱ ، با دقت تا ۰/۱  است، زیرا

|(3/671-3/6)| = |0/071| = 0/071 < 0/1

، مقدار تقریبی عدد ، با دقت تا   است، زیرا:

اگر به جای مجموع عددهای a و b از مجموع مقدارهای تقریبی آن‌ها استفاده کنیم، آن وقت 'a' + b مقدار تقریبی a + b است. این پرسش پیش می‌آید که: اگر دقت تقریب‌های هر یک از جمله‌های جمع را بدانیم، چگونه می‌توانیم، دقت تقریب مجموع آن‌ها را ارزیابی کنیم؟ پاسخ به این پرسش و پرسش‌های مشابه آن، براساس ویژگی زیر از قدر مطلق‌ها داده می‌شود:

|a + b| ≤ |a|+|b|

 اثبات: اگر عددهای a و  b مثبت باشند، آن‌وقت مجموع آن‌ها هم مثبت می‌شود. در این حالت |a|=a ،  |b|=b   و |a+b|=a+b ، درنتیجه: |a+b|=|a|+ |b| اگر a و  b، عددهایی منفی باشند، آن وقت مجموع آن‌ها هم، عددی منفی می‌شود. یعنی در این حالت هم   |a+b| با |a| و |b| برابر است.  سرانجام فرض می‌کنیم، از دو عدد a و b، یکی مثبت و دیگری منفی باشد، در این صورت، اگر |a|≥|b|، آن‌وقت |a+b|=|a|-|b| و اگر |a|≤|b|، آن‌وقت |a+b|=|b|-|a|. در هر یک از این دو حالت، تفاضل دو عدد مثبت |a| و |b| از مجموع آن‌ها کوچک‌تر است. به این ترتیب، اگر یکی از عددهای a و b مثبت و دیگری منفی باشد، آن‌وقت

|a+b|<|a|+|b|

حالتی می‌ماند که یکی‌، یا هردو عدد a و b برابر صفر باشد. در این حالت، خود خواننده می‌تواند به سادگی مطلب زیر را دنبال کند.

|1-20| < |-19| = 19

|1| + |-20| = 1+20 = 21

19 ≤ 21

زنگ‌تفریح شماره ۱۵۱

---

 

اشعار آفریده‌ی نادان‌هایی مثل من هستند، در صورتی که فقط خدا می‌تواند یک درخت بیافریند. جویس کیلمر

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

مقدمه

در عمل، تقریبا هرگز، نمی‌توانیم به مقدار دقیق کمیت‌ها دست بیابیم.  هیچ وزنی، هر قدر دقیق محاسبه شده باشد، نمی‌تواند معرف دقت مطلق وزن یک چیز باشد. هر دماسنجی، درجه‌ی حرارت را با کم و بیش اشتباه نشان می‌دهد، هیچ آمپرمتری، شدت جریان برق را با دقت مطلق نشان نمی‌دهد و غیره. در ضمن، چشم ما، در موقعیتی نیست که بتواند اندازه‌هایی را که بر روی ابزارها ثبت می‌شود، با دقت مطلق، بخواند. بنابراین، همه جا، به جای تکیه بر مقدارهای واقعی، باید با مقدارهای تقریبی کار کنیم.

اگر 'a مقدار تقریبی کمیت a باشد، آن وقت تفاضل ∆ = a - a'  را خطای تقریب می‌نامند. مثلا، اگر به جای عدد ۳/۷۵۶ ، مقدار تقریبی آن، ۳/۷  را در نظر بگیریم، آن‌وقت، خطا برابر است با

∆ = 3/756 - 3/7 = 0/056

و اگر ۳/۸  را به عنوان مقدار تقریبی مورد استفاده قرار دهیم، خطای حاصل برابر است با:

∆ = 3/756 - 3/8 = 0/044

در عمل، اغلب، به جای خطای تقریب ∆، از قدر مطلق آن |∆|، استفاده می‌کنند. از این‌جا به بعد، قدر مطلق خطای تقریب را، به طور ساده، خطای مطلق می‌نامیم.

یک تقریب را بهتر از دیگری می‌دانند، وقتی که خطای مطلق اولی، از خطای مطلق دومی کمتر باشد. مثلا تقریب ۳/۸  برای عدد ۳/۷۵۶ ، بهتر از تقریب ۳/۷ برای آن است، زیرا برای تقریب اولی |∆|=0/044  و برای تقریب دومی |∆|=0/056  و در ضمن 0/044 < 0/056   عدد 'a را مقدار عدد a با دقت تا ε می‌نامند، وقتی که خطای مطلق، این تقریب، از ε کوچک‌تر باشد:

|a - a'|< ε

مثلا ۳/۶ ، مقدار تقریبی عدد ۳/۶۷۱ ، با دقت تا ۰/۱  است، زیرا

|(3/671-3/6)| = |0/071| = 0/071 < 0/1

، مقدار تقریبی عدد ، با دقت تا   است، زیرا:

اگر به جای مجموع عددهای a و b از مجموع مقدارهای تقریبی آن‌ها استفاده کنیم، آن وقت 'a' + b مقدار تقریبی a + b است. این پرسش پیش می‌آید که: اگر دقت تقریب‌های هر یک از جمله‌های جمع را بدانیم، چگونه می‌توانیم، دقت تقریب مجموع آن‌ها را ارزیابی کنیم؟ پاسخ به این پرسش و پرسش‌های مشابه آن، براساس ویژگی زیر از قدر مطلق‌ها داده می‌شود:

|a + b| ≤ |a|+|b|

 اثبات: اگر عددهای a و  b مثبت باشند، آن‌وقت مجموع آن‌ها هم مثبت می‌شود. در این حالت |a|=a ،  |b|=b   و |a+b|=a+b ، درنتیجه: |a+b|=|a|+ |b| اگر a و  b، عددهایی منفی باشند، آن وقت مجموع آن‌ها هم، عددی منفی می‌شود. یعنی در این حالت هم   |a+b| با |a| و |b| برابر است.  سرانجام فرض می‌کنیم، از دو عدد a و b، یکی مثبت و دیگری منفی باشد، در این صورت، اگر |a|≥|b|، آن‌وقت |a+b|=|a|-|b| و اگر |a|≤|b|، آن‌وقت |a+b|=|b|-|a|. در هر یک از این دو حالت، تفاضل دو عدد مثبت |a| و |b| از مجموع آن‌ها کوچک‌تر است. به این ترتیب، اگر یکی از عددهای a و b مثبت و دیگری منفی باشد، آن‌وقت

|a+b|<|a|+|b|

حالتی می‌ماند که یکی‌، یا هردو عدد a و b برابر صفر باشد. در این حالت، خود خواننده می‌تواند به سادگی مطلب زیر را دنبال کند.

|1-20| < |-19| = 19

|1| + |-20| = 1+20 = 21

19 ≤ 21