اگر برای انجام کاری بزرگ ، زمان نداری
بهتر است بی درنگ آن را به دیگران بسپاری .
فردوسی

اول این مساله را مطرح می‌کنیم: تابع A(μ)  را طوری پیدا کنید که، به ازای A(1)=1 ، با شرط زیر سازگار باشد:

βα = A(α+β) - A(α) - A(β)           (1)

از معادله‌ی 1 به ازای α=0 نتیجه می‌شود: A(0)=0. سپس، با فرض α=1 و β = μ-1، با توجه به A(1)=1 و هر مقدار دلخواه μ، به دست می‌آید:

μ = A(μ) - A(μ-1)                     (2)

به ازای μ=1,2,3,…  از معادله‌ی 2 نتیجه می‌شود:

1 = A(1)-A(0),

                             2 = A(2)-A(1),                        (3)
……………….
μ = A(μ) - A(μ-1),

که از مجموع آن‌ها به‌دست می‌آید:

A(μ) = 1/2 μ(μ+1)                (4)

یادآوری می‌کنیم که تابع 4، به ازای مقدارهای مختلط و دلخواه α و β، در معادله‌ی 1 صدق می‌کند که به سادگی و به طور مستقیم، می‌توان در مورد آن قانع شد.

به دستور 1 و تابع 4 می‌توان ضرب عددهای درست را به عمل‌های جمع و تفریق تبدیل کرد. از 4 نتیجه می‌شود:

A(-α) = A(α-1)                (5)

اگر در معادله‌ی 1، α را به α- تبدیل کنیم، با توجه به معادله‌ی 5 به دست می‌آید:

βα = A(α-1) + A(β) - A(β-α)          (6)

در حالتی که داشته باشیم β<α، کافی است جای β و α را با هم عوض کنیم.

با دستور 6 می‌توان جدول جمع و جورتری برای مقدارهای A(μ) ، نسبت به دستور 1، درست کرد.

ضرب عددهای سه‌رقمی با دستور 6، نیاز به 1000 مقدارA(μ)  در جدول دارد. برای ضرب، عددهایی را که رقم بیشتری داشته باشند، می‌توان به طرح زیر منجر کرد:

(a+b)(c+d) = ac+bc+ad+bd                   (7)

برای این‌که کاربرد دستور 6 روشن شود، بخشی از جدول تابع A(μ)  را، برای عددهای دورقمی می‌آوریم:

مثلا در برخورد سطر سوم با ستون پنجم، داریم: A(24)=300 به کمک این جدول، ضرب 39×47 را انجام می‌دهیم. در دستور 6 قرار می‌دهیم: α=39 و β=47.

39×47 = A(38)+A(47)-A(8) =
= 741+1128-36=1833

درواقع، عمل ضرب را، به عمل‌های جمع و تفریق منجر کرده‌ایم. خواننده می‌تواند این جدول را تا هر کجا که مایل باشد، ادامه دهد. برای تنظیم جدول، بهتر است در نظر داشته باشیم که:

A(μ) = A(μ-1) + μ

اگر برای انجام کاری بزرگ ، زمان نداری
بهتر است بی درنگ آن را به دیگران بسپاری .
فردوسی

اول این مساله را مطرح می‌کنیم: تابع A(μ)  را طوری پیدا کنید که، به ازای A(1)=1 ، با شرط زیر سازگار باشد:

βα = A(α+β) - A(α) - A(β)           (1)

از معادله‌ی 1 به ازای α=0 نتیجه می‌شود: A(0)=0. سپس، با فرض α=1 و β = μ-1، با توجه به A(1)=1 و هر مقدار دلخواه μ، به دست می‌آید:

μ = A(μ) - A(μ-1)                     (2)

به ازای μ=1,2,3,…  از معادله‌ی 2 نتیجه می‌شود:

1 = A(1)-A(0),

                             2 = A(2)-A(1),                        (3)
……………….
μ = A(μ) - A(μ-1),

که از مجموع آن‌ها به‌دست می‌آید:

A(μ) = 1/2 μ(μ+1)                (4)

یادآوری می‌کنیم که تابع 4، به ازای مقدارهای مختلط و دلخواه α و β، در معادله‌ی 1 صدق می‌کند که به سادگی و به طور مستقیم، می‌توان در مورد آن قانع شد.

به دستور 1 و تابع 4 می‌توان ضرب عددهای درست را به عمل‌های جمع و تفریق تبدیل کرد. از 4 نتیجه می‌شود:

A(-α) = A(α-1)                (5)

اگر در معادله‌ی 1، α را به α- تبدیل کنیم، با توجه به معادله‌ی 5 به دست می‌آید:

βα = A(α-1) + A(β) - A(β-α)          (6)

در حالتی که داشته باشیم β<α، کافی است جای β و α را با هم عوض کنیم.

با دستور 6 می‌توان جدول جمع و جورتری برای مقدارهای A(μ) ، نسبت به دستور 1، درست کرد.

ضرب عددهای سه‌رقمی با دستور 6، نیاز به 1000 مقدارA(μ)  در جدول دارد. برای ضرب، عددهایی را که رقم بیشتری داشته باشند، می‌توان به طرح زیر منجر کرد:

(a+b)(c+d) = ac+bc+ad+bd                   (7)

برای این‌که کاربرد دستور 6 روشن شود، بخشی از جدول تابع A(μ)  را، برای عددهای دورقمی می‌آوریم:

مثلا در برخورد سطر سوم با ستون پنجم، داریم: A(24)=300 به کمک این جدول، ضرب 39×47 را انجام می‌دهیم. در دستور 6 قرار می‌دهیم: α=39 و β=47.

39×47 = A(38)+A(47)-A(8) =
= 741+1128-36=1833

درواقع، عمل ضرب را، به عمل‌های جمع و تفریق منجر کرده‌ایم. خواننده می‌تواند این جدول را تا هر کجا که مایل باشد، ادامه دهد. برای تنظیم جدول، بهتر است در نظر داشته باشیم که:

A(μ) = A(μ-1) + μ