مسابقه شماره ۲۳۲
سوال
یک قورباغه روی نقطه صفر محور مختصات نشسته است. این قورباغه می‌تواند به سمت جلو بجهد. ولی طول پرش آن در i امین جهش به دلخواه خودش i یا i + 1 واحد است. او پس از چند جهش می‌تواند به نقطه 1381 برسد ؟ و چند جهش دیگر لازم است تا از آن جا به نقطه 2003 برسد ؟
الف) 52 و 11
ب)52 و 12
ج) 52 , نمی‌تواند برسد
د) 37 و 9
هـ) به هیچ کدام نمی‌تواند برسد
پاسخ
اگر تصور کنیم که در حرکت iام به اندازه i واحد به جلو بجهد آنگاه خواهیم داشت:
1 + 2 + 3 + ... + n < 1381 < 1 + 2 + 3 + ... + ( n + 1 )
==> n(n + 1)/2 <1381 ==> n(n + 1) < 2762 ==> n < 53
به ازای n = 52 و در حالتی که قورباغه در حرکت iام به اندازه i واحد بجهد به نقطه ( 52 × 53 ) ÷ 2 یعنی 1378 خواهد رسید.
بنابراین کافی است برای رسیدن به نقطه 1381 در 52 حرکت , فقط در سه جهش از 52 جهش به جای i واحد جهیدن , به اندازه i + 1 واحد بجهد.
اگر تصور کنیم که قورباغه از حرکت 52 به بعد در هر حرکت کمترین مقدار ممکن را بجهد آنگاه بعد از 10 حرکت به نقطه 1956 خواهد رسید زیرا :
( 1381 ) + 53 + 54 + 55 + ... + 62 = 1956
و اگر قورباغه در هر حرکت بیشترین مقدار ممکن را بجهد آنگاه بعد از 10 حرکت به نقطه 1966 خواهد رسید که عقب تر از نقطه 2003 می‌باشد. اما نقطه مقصد بعد از 11 حرکت به ترتیب در حالاتی که قورباغه کمترین مقدار و نیز بیشترین مقدار را بجهد برابر 2019 و 2030 می‌شود, به این معنا که رسیدن به نقطه 2003 از نقطه 1381 با شرایط اشاره شده غیر ممکن است.