مسابقه شماره ۲۴۹
سوال
دو نفر این بازی را انجام می‌دهند :
هر نفر در نوبت خود ٫ یک رقم از مجموعه {۱٫۲٫۳٫۴٫۵}
را بر روی کاغذ می‌نویسد و بازی پس از نوشتن رقم n ام خاتمه می‌یابد. نفر دوم قصد دارد
کاری کند که در انتها مجموع ارقام نوشته شده بر ۹ بخشپذیر باشد. ولی نفر اول
می‌خواهد از این کار جلوگیری کند. به ازای چه مقدار n نفر دوم می‌تواند حتما به هدف
خود برسد ؟
پاسخ
- برای آنکه نفر دوم در مرحله n ام برنده شود باید در مرحله n - 1 نفر اول به یکی
از باقی
مانده‌های ۴ ٫ ۵ ٫ ۶ ٫ ۷ و ۸ رسیده باشد٫ زیرا اگر در آن مرحله ٫ نفر اول به یکی از باقی
مانده‌های ۰ ٫ ۱ ٫ ۲ و یا ۳ رسیده باشد ٫ نفر دوم مکملی برای آن باقی مانده ( از بین
اعداد مجموعه داده شده ) نخواهد یافت.
- برای آنکه در مرحله n - 1 نفر اول به ناچار به یکی از باقی مانده‌های ۴ ٫ ۵ ٫ ۶ ٫ ۷
ویا ۸
برسد باید نفر دوم در مرحله n - 2 به باقی مانده ۳ برسد.
- برای آنکه در مرحله n - 2 نفر دوم بتواند به باقی مانده ۳ برسد باید نفر اول در
مرحله n -
3 به یکی از باقی مانده‌های ۲ ٫ ۱ ٫ ۰ ٫ ۸ و یا ۷ رسیده باشد که او بتواند ۱ ٫ ۲ ٫ ۳ ٫
۴ و یا
۵ اضافه کرده و باقی مانده عدد حاصل بر ۹ برابر ۳ کند.
- برای آنکه در مرحله n - 3 نفر اول به ناچار به یکی از باقی مانده‌های ۲ ٫ ۱ ٫ ۰ ٫ ۸ و
یا ۷
برسد باید نفر دوم در مرحله n - 4 به باقی مانده ۶ برسد.
- برای آنکه در مرحله n - 4 نفر دوم بتواند به باقی مانده ۶ برسد لازم است نفر اول
در مرحله n - 5 به یکی از باقی مانده‌های ۱ ٫ ۲ ٫ ۳ ٫ ۴ و یا ۵ رسیده باشد
- برای آنکه در مرحله n - 5 نفر اول به یکی از باقی‌مانده‌های ۱ ٫ ۲ ٫ ۳ ٫ ۴ و یا ۵
برسد. لازم است نفر دوم در مرحله n - 6 به باقی مانده صفر برسد.
با توجه به توضیحات فوق معلوم می‌شود که شرط لازم و کافی برای آنکه نفر دوم بتواند در
مرحله n ام برنده شود ٫ آن است که بتواند در مرحله n - 6 ام برنده شود و چون عدد صفر
مضرب ۹ است ٫ یعنی در مرحله صفر ام نفر دوم برنده است او می‌تواند در مراحل ۶ ٫ ۱۲ ٫
۱۸ ٫ ... ٫ ۱۳۸۰ ٫ ۱۳۸۶ ٫ ... برنده شود.