دوشنبه ۱۰ ارديبهشت ۱۴۰۳   |  كاربر مهمان   |    
 آرشيو پستها
 پيوندها
 مثلث خیام، پاسکال و ضرایب بسط دوجمله‎ای (زنگ تفریح شماره‎ی 55)
مثلث خیام، پاسکال و ضرایب بسط دوجمله‎ای (زنگ تفریح شماره‎ی 55)زنگ تفريح كامپيوتر
تركيبيات

مثلث خیام، پاسکال

و

ضرایب بسط دوجمله‎ای



اشاره
آن‌چه با عنوان «چكيده» در اول مسابقه‌ها و زنگ‌تفريح‌ها مشاهده مي‌كنيد صرفاً مخصوص معلمان، مربيان، كارشناسان محترم آموزشي و ساير علاقه‌مندان است.


چكيده
اهداف آموزشي
اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي – دانش
   - «دانش راه‌ها و وسايل برخورد با امور جزوي» > «دانش روش‌‌ها و روش‌شناسي»
اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي – توانايي‌ها و مهارت‌هاي ذهني
   - «فهميدن» > «ترجمه» > «به کار بستن»
   - «فهميدن» > «ترجمه» > «تحليل» > «تحليل عناصر»
   - «فهميدن» > «ترجمه» > «تحليل» > «تحليل روابط»
نتايج مورد نظر
   - آشنایی با روش‎های ترکیبیاتی در حل مسائل
محتواي آموزشي
   - تركيبيات.


مقدمه
«مثلث خیام» مثلثی است که در زبان‌های گوناگون نام‌های دیگری نیز دارد؛ در زبان انگلیسی «مثلث پاسکال» (Pascal's Triangle)، ایتالیایی «مثلث تارتالیا» (Tartaglia's Triangle) و در زبان چینی «مثلث یانگ هویی» (Yang Hui's Triangle) نام گرفته است.
در آثار متون سانسکریت ریاضی‌دان هندی «پینگالا» (Pingala) نشانه‌هایی از استفاده از این بسط دیده می‌شود.
در همان دوران «عمر خیام» ریاضیدان ایرانی ادعای کشف روشی جبری برای به‌دست آوردن ضرایب بسط دوجمله‌ای می‌کند.

 

شکل 1.



در آن زمان «مشکلات الحساب» - کتابی که اثبات این ادعا در آن آمده - هنوز کشف نشده بود ولی متأثر از «عمر خيام» در آثار «خواجه نصيرالدين طوسی» مي‌توان ضرايب بسط دوجمله‌اي تا توان 12 را مشاهده كرد.
در قرن ۱3 میلادی در آثار «یانگ هویی» (Yang Hui) ریاضیدان چینی، بسط دوجمله‌اي به شکل مثلث ديده مي‌شود.

شکل 2.


در قرن ۱۶ میلادی ریاضیدان ایتالیایی «تارتالیا» (Niccolò Fontana Tartaglia) هم كاربردهايي از اين مثلث را بيان كرد. پس از یک قرن «پاسکال» ریاضیدان فرانسوی هم‌دوره با «نیوتون» روی این بسط و مثلث حسابی آن کار کرد و به‌همین دلیل بیش‌تر به «مثلث پاسکال» (Pascal's Triangle) معروف است؛ علیرغم این‎که مجموعه اعدادی که مثلث را می‎سازند قبل از خود «پاسکال» شناخته شدند اما او بود که بسیاری از کاربردهای آن را گسترش داده و «مثلث پاسکالي» ساخته شد (شكل 3).

شکل 3.




در زنگ تفریح شماره‎ی 17 المپیاد ریاضی هم می‎توانید در این مورد مطلبی را مطالعه کنید:

http://old.roshd.ir/Default.aspx?tabid=290&EntryID=667
اما آن‎چه خیام ادعا کرد ضرایب بسط دوجمله‎ای بود.
مثلا بسط ذیل را در نظر می‎گیریم:





همان‎طور که می‎دانیم برابر است با: و این همان عنصر ام در سطر است (سطرها و عناصر هر سطر با شروع از صفر شماره‎گذاری شده‎اند) و با توجه به «قانون پاسکال» (Pascal's Rule) درک می‎شود:


 

و مثلث را به صورت (شکل 4) می‎سازیم:

شکل 4.



با توجه به آن‎چه در مورد عناصر هر سطر گفته شد به‌سادگی می‎توان دریافت مجموع عناصر سطرام در مثلث برابر است با: زیرا می‎دانیم که رابطه‌ي ذيل برقرار است:
1388/2/7 لينک مستقيم
نظر شما پس از تاييد در سايت قرار داده خواهد شد
نام :
پست الکترونيکي :
صفحه شخصي :
نظر:
تایید انصراف
 برندگان آخرين مسابقه
Use module action menu to edit content
 مسابقه المپياد

براي شركت در مسابقه المپياد به آخرين مسابقه رفته و در قسمت پاسخ جديد ، پاسخ خود را وارد نماييد، همچنين مي توانيد پاسخ خود  را از طريق ايميل به آدرس Olympiad@roshd.ir ارسال نماييد. براي ديدن سوال ها، پاسخ ها و اسامي برندگان مسابقات قبلي روي مسابقه كليك كنيد. 
 مثلث خیام، پاسکال و ضرایب بسط دوجمله‎ای (زنگ تفریح شماره‎ی 55)
مثلث خیام، پاسکال و ضرایب بسط دوجمله‎ای (زنگ تفریح شماره‎ی 55)زنگ تفريح كامپيوتر
تركيبيات

مثلث خیام، پاسکال

و

ضرایب بسط دوجمله‎ای



اشاره
آن‌چه با عنوان «چكيده» در اول مسابقه‌ها و زنگ‌تفريح‌ها مشاهده مي‌كنيد صرفاً مخصوص معلمان، مربيان، كارشناسان محترم آموزشي و ساير علاقه‌مندان است.


چكيده
اهداف آموزشي
اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي – دانش
   - «دانش راه‌ها و وسايل برخورد با امور جزوي» > «دانش روش‌‌ها و روش‌شناسي»
اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي – توانايي‌ها و مهارت‌هاي ذهني
   - «فهميدن» > «ترجمه» > «به کار بستن»
   - «فهميدن» > «ترجمه» > «تحليل» > «تحليل عناصر»
   - «فهميدن» > «ترجمه» > «تحليل» > «تحليل روابط»
نتايج مورد نظر
   - آشنایی با روش‎های ترکیبیاتی در حل مسائل
محتواي آموزشي
   - تركيبيات.


مقدمه
«مثلث خیام» مثلثی است که در زبان‌های گوناگون نام‌های دیگری نیز دارد؛ در زبان انگلیسی «مثلث پاسکال» (Pascal's Triangle)، ایتالیایی «مثلث تارتالیا» (Tartaglia's Triangle) و در زبان چینی «مثلث یانگ هویی» (Yang Hui's Triangle) نام گرفته است.
در آثار متون سانسکریت ریاضی‌دان هندی «پینگالا» (Pingala) نشانه‌هایی از استفاده از این بسط دیده می‌شود.
در همان دوران «عمر خیام» ریاضیدان ایرانی ادعای کشف روشی جبری برای به‌دست آوردن ضرایب بسط دوجمله‌ای می‌کند.

 

شکل 1.



در آن زمان «مشکلات الحساب» - کتابی که اثبات این ادعا در آن آمده - هنوز کشف نشده بود ولی متأثر از «عمر خيام» در آثار «خواجه نصيرالدين طوسی» مي‌توان ضرايب بسط دوجمله‌اي تا توان 12 را مشاهده كرد.
در قرن ۱3 میلادی در آثار «یانگ هویی» (Yang Hui) ریاضیدان چینی، بسط دوجمله‌اي به شکل مثلث ديده مي‌شود.

شکل 2.


در قرن ۱۶ میلادی ریاضیدان ایتالیایی «تارتالیا» (Niccolò Fontana Tartaglia) هم كاربردهايي از اين مثلث را بيان كرد. پس از یک قرن «پاسکال» ریاضیدان فرانسوی هم‌دوره با «نیوتون» روی این بسط و مثلث حسابی آن کار کرد و به‌همین دلیل بیش‌تر به «مثلث پاسکال» (Pascal's Triangle) معروف است؛ علیرغم این‎که مجموعه اعدادی که مثلث را می‎سازند قبل از خود «پاسکال» شناخته شدند اما او بود که بسیاری از کاربردهای آن را گسترش داده و «مثلث پاسکالي» ساخته شد (شكل 3).

شکل 3.




در زنگ تفریح شماره‎ی 17 المپیاد ریاضی هم می‎توانید در این مورد مطلبی را مطالعه کنید:

http://old.roshd.ir/Default.aspx?tabid=290&EntryID=667
اما آن‎چه خیام ادعا کرد ضرایب بسط دوجمله‎ای بود.
مثلا بسط ذیل را در نظر می‎گیریم:





همان‎طور که می‎دانیم برابر است با: و این همان عنصر ام در سطر است (سطرها و عناصر هر سطر با شروع از صفر شماره‎گذاری شده‎اند) و با توجه به «قانون پاسکال» (Pascal's Rule) درک می‎شود:


 

و مثلث را به صورت (شکل 4) می‎سازیم:

شکل 4.



با توجه به آن‎چه در مورد عناصر هر سطر گفته شد به‌سادگی می‎توان دریافت مجموع عناصر سطرام در مثلث برابر است با: زیرا می‎دانیم که رابطه‌ي ذيل برقرار است:
1388/2/7 لينک مستقيم
نظر شما پس از تاييد در سايت قرار داده خواهد شد
نام :
پست الکترونيکي :
صفحه شخصي :
نظر:
تایید انصراف
 ارتباط
                           

مشاوره

|

معرفي كتاب

|

مصاحبه

|

زنگ تفريح

|

آموزش

|

راهنماي سايت

|

صفحه اصلي

                            
                             

درباره ما

|

پرسش و پاسخ علمي

|

نظرات و پيشنهادات

|

اخبار

|

مسابقه

                             

© Copyright 2004, Roshd Mathematics Olympiad Website, All rights reserved.

سرویس‌های رشد:

فهرست:

وزارت آموزش و پرورش > سازمان پژوهش و برنامه‌ريزی آموزشی
شبکه ملی مدارس ایران (رشد)