مسابقه‌ی تصادفی

 مسابقه‌های پربازدید
 
 آرشيو
 اعداد و اصل برتراند (مسابقه‌ي شماره‌ي 40)
اعداد و اصل برتراند (مسابقه‌ي شماره‌ي 40)مسابقه رياضي
براي حل اين مسأله از «اصل برتراند» كمك بگيريد ... سؤال همراه با جواب

اعداد و اصل برتراند






 

اشاره

بسياري از بزرگان عالم رياضيات اعتراف كرده‌اند كه اثبات «ارشميدس» براي بي‌نهايت بودن تعداد اعداد اول از جمله مهم‌ترين و زيباترين گزاره‌هاي تاريخ رياضيات است.

براي اثبات اين موضوع راه‌حل‌هاي زيادي عنوان شده است كه اثبات «ارشميدس» از همه قديمي‌تر، زيباتر و آسان‌تر است.

پس ارشميدس اثبات كرده است كه به ازاي هر عدد صحيح ، هميشه عدد اولي بزرگ‌تر از  وجود دارد1.

اما كوچك‌ترين عدد اول بزرگ‌تر از چقدر از مي‌تواند بزرگ‌تر باشد؟

«جوزف برتراند» (1201 تا 1279) (1822 تا 1900 ميلادي) (Joseph Bertrand) در سال 1224 (1845 ميلادي) حدس زد كه به‌ازاي ،  هميشه عدد اولي بين  و  وجود دارد.

اين حدس در سال 1229 (1850 ميلادي) توسط «چبيشف» (Chebyshev) اثبات شد.



 
و اما سؤال مسابقه

را اُمين عدد اول فرض كنيد‌ و نيز فرض كنيد  عبارت باشد از تعداد اعداد اول كوچك‌تر از .

مثلاً:


و




ثابت كنيد اگر  عددي صحيح و بزرگ‌تر از 6 باشد، آ‌ن‌گاه خواهيم داشت:


 

جواب

از استقرا استفاده مي كنيم:

فرض مي‌كنيم نامساوي  درست باشد در اين صورت داريم:


براي حل مسأله بايد درستي نامساوي را براي  و   اثبات كنيم.

اگر  باشد داريم:




حال بايد رابطه‌ي ذيل را اثبات كنيم:




لذا داريم:






چون داريم:

پس خواهيم داشت:


لذا داريم:




طبق «اصل برتراند» يك عدد اول بين  و   و يك عدد اول بين  و  وجود دارد.

لذا حداقل دو عدد بين  و  وجود خواهد داشت.

يعني داريم:



 

1386/9/8لينک مستقيم

نظر شما پس از تاييد در سايت قرار داده خواهد شد
نام :
پست الکترونيکي :
صفحه شخصي :
نظر:
تاییدانصراف
 
 المپياد رياضي

 

     

 

 

صفحه‌ي اصلي

     

 

راهنماي سايت

     

 

 

آموزش

     

 

بانك سوال

     

 

 

مسابقه

     

 

 

زنگ تفريح

     

 

 

مصاحبه و گزارش

     

 

 

معرفي كتاب

     

 

 

مشاوره

     

 

 

پرسش‌و‌پاسخ‌علمي

     

 

اخبار

     

 

فعاليت‌هاي علمي

 بازديدها
كاربران غيرعضو آنلاينكاربران غيرعضو آنلاين:  4659
 كاربران عضو آنلاين:  0
  کل كاربران آنلاين:  4659