را بهصوت تابع ذيل تعريف ميكنيم:
(رابطهي 3)
اگر فرض كنيم براي هر عدد حقيقي رابطهي ذيل صادق باشد:
(رابطهي 4)
بايد رابطهي ذيل براي هر عدد حقيقي و هر عدد طبيعي برقرار باشد:
(رابطهي 5)
بنابراين رابطهي در حالتي كه: است داراي هيچ جواب حقيقي نخواهد بود.
اجازه دهيد ثابت كنيم براي داراي دو جواب مجزاي حقيقي باشد. براي اثبات آن از استقراي رياضي براي استفاده ميكنيم:
|
- اگر باشد حكم مستقيماً ثابت ميشود. |
|
- فرض كنيد حكم براي يك عدد طبيعي نظير: صدق كند، ثابت ميكنيم براي عدد نيز بايد صادق باشد.
از آنجايي كه داريم:
(رابطهي 6)
روابط ذيل را نتيجه ميگيريم:
(رابطهي 7)
يا:
(رابطهي 8) |
بنابراين طبق اصل استقرا رابطهي و همچنين ، داراي دو جواب حقيقي مجزا خواهد بود؛ اين در حالي است كه رابطهي فاقد جواب حقيقي است (بهعلت آنكه همواره داريم: ).
بنابراين رابطهي داراي دو جواب حقيقي مجزا است.
اكنون اجازه دهيد ثابت كنيم رابطهي ذيل دقيقاً داراي جواب حقيقي مجزا است:
(رابطهي 9)
دوباره از استقراي رياضي استفاده ميكنيم:
|
- اگر ، جوابها عبارت خواهند بود از:
(رابطهي 10)
|
|
- اگر ، جوابها عبارت خواهند بود از:
(رابطهي 11) | بنابراين هر دو حالت تعداد جوابها برابر خواهد بود.
فرض كنيد حكم براي بعضي از برقرار باشد.
لازم به ياداوري است كه داريم:
(رابطهي 12)
بنابراين مجموعهي تمام جوابهاي حقيقي كه در رابطهي ذيل صدق ميكنند:
(رابطهي 13)
كه دقيقاً همان مجموعههاي جوابهاي حقيقي مربوط به رابطههاي ذيل هستند:
(رابطهي 14)
(رابطهي 15)
(رابطهي 16)
اكنون از استقرا استفاده ميكنيم:
رابطهي داراي جواب حقيقي متمايز است. اين در حالي است كه رابطههاي و بههمان دليل داراي دو جواب حقيقي غيرمشخص هستند.
بنابراين مجموعههاي فوق - كه دوبهدو مجزا هستند – و رابطهي داراي جواب حقيقي مجزا ميباشند.
بدينترتيب ثابت كردهايم كه براي هر عدد طبيعي ، رابطهي دقيقاً داراي جواب حقيقي متمايز است و بنابراين جواب پيشنهادي براي سؤال 1387 جواب حقيقي خواهد بود. |