مسابقه‌ی تصادفی

 مسابقه‌های پربازدید
 
 آرشيو
 استقرا (مسابقه‌ي شماره‌ي 42)
استقرا (مسابقه‌ي شماره‌ي 42)مسابقه رياضي
توابع حقيقي ... سؤال همراه با جواب

استقرا






اشاره

آن‌چه كه با عنوان «چكيده» در اول مسابقه‌ها و زنگ تفريح‌ها مشاهده مي‌كنيد صرفاً مخصوص معلمان، مربيان، كارشناسان محترم آموزشي و ساير علاقه‌مندان است.



چكيده
 اهداف آموزشي
اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي - دانش
    - «دانش امور جزوي» > «دانش اصطلاح‌ها»
    - «دانش راه‌ها و وسايل برخورد با امور جزوي» > «دانش روش‌ها يا روش‌شناسي»
    - «دانش امور كلي و مسائل انتزاعي» > «دانش اصل‌ها و تعميم‌ها»
اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي - توانايي‌ها و مهارت‌هاي ذهني
    - «فهميدن» > «كاربستن»
    - «فهميدن» > «تركيب» > «توليد يك نقشه يا مجموعه اقدام‌هاي پيشنهادي»
    - «فهميدن» > «تركيب» > «استنتاج مجموعه‌اي از روابط انتزاعي»
 نتايج مورد نظر
    - شناخت بيش‌تر از استقرا
    - حل مسأله با روش استقرا
محتواي آموزشي (سرفصل‌هاي المپياد جهاني)
    - استقرا
    - توابع





سؤال

فرض كنيد:





(رابطه‌ي 1)

به‌نظر شما رابطه‌ي ذيل داراي چند جواب حقيقي مجزا است؟




(رابطه‌‌ي 2)





جواب

 را به‌صوت تابع ذيل تعريف مي‌كنيم:





(رابطه‌ي 3)

اگر فرض كنيم براي هر عدد حقيقي رابطه‌ي ذيل صادق باشد:




(رابطه‌ي 4)

بايد رابطه‌‌ي ذيل براي هر عدد حقيقي و هر عدد طبيعي  برقرار باشد:




(رابطه‌ي 5)

بنابراين رابطه‌ي  در حالتي كه:  است داراي هيچ جواب حقيقي نخواهد بود.

اجازه دهيد ثابت كنيم  براي  داراي دو جواب مجزاي حقيقي باشد. براي اثبات آن از استقراي رياضي براي استفاده مي‌كنيم:

- اگر باشد حكم مستقيماً ثابت مي‌شود.

- فرض كنيد حكم براي يك عدد طبيعي نظير:  صدق كند، ثابت مي‌كنيم براي ‌عدد نيز بايد صادق باشد.

از آن‌جايي كه داريم:




(رابطه‌ي 6)

روابط ذيل را نتيجه مي‌گيريم:




(رابطه‌ي 7)

يا:




(رابطه‌ي 8)

بنابراين طبق اصل استقرا رابطه‌ي  و هم‌چنين ، داراي دو جواب حقيقي مجزا خواهد بود؛ اين در حالي است كه رابطه‌ي  فاقد جواب حقيقي است (به‌علت آن‌كه همواره داريم: ).

بنابراين رابطه‌ي  داراي دو جواب حقيقي مجزا است.

اكنون اجازه دهيد ثابت كنيم رابطه‌ي ذيل دقيقاً داراي  جواب حقيقي مجزا است:




(رابطه‌ي 9)

دوباره از استقراي رياضي استفاده مي‌كنيم:

- اگر ، جواب‌ها عبارت خواهند بود از:




(رابطه‌ي 10)

- اگر ، جواب‌ها عبارت خواهند بود از:





(رابطه‌ي 11)


بنابراين هر دو حالت تعداد جواب‌ها برابر خواهد بود.

فرض كنيد حكم براي بعضي از  برقرار باشد.

لازم به ياداوري است كه داريم:






(رابطه‌ي 12)

بنابراين مجموعه‌ي تمام جواب‌هاي حقيقي كه در رابطه‌ي ذيل صدق مي‌كنند:




(رابطه‌‌ي 13)

كه دقيقاً همان مجموعه‌هاي جواب‌هاي حقيقي مربوط به رابطه‌هاي ذيل هستند:




(رابطه‌ي 14)




(رابطه‌ي 15)




(رابطه‌ي 16)

اكنون از استقرا استفاده مي‌كنيم:

رابطه‌ي داراي  جواب حقيقي متمايز است. اين در حالي است كه رابطه‌هاي ‌و  به‌همان دليل داراي دو جواب حقيقي غيرمشخص هستند.

بنابراين مجموعه‌هاي فوق - كه دوبه‌دو مجزا هستند – و رابطه‌‌ي  داراي  جواب حقيقي مجزا مي‌باشند.

بدين‌ترتيب ثابت كرده‌ايم كه براي هر عدد طبيعي ، رابطه‌‌ي  دقيقاً داراي  جواب حقيقي متمايز است و بنابراين جواب پيشنهادي براي سؤال 1387 جواب حقيقي خواهد بود.

1386/9/22لينک مستقيم

فرستنده :
ياسين اسدالهي HyperLink HyperLink 1386/10/23
مـتـن : به نظر من فقط x مي تواند 0 (صفر ) باشد چون هر عدد ضرب در 0 ميشود صفر و به غير از صفر جواب ديگري نيست و به همين دليل 1 جواب دارد. خسته نباشيد!
پاسـخ :ايميل فرستنده: tejaragh@yahoo.fr

ياسين جان!
از اين‌كه با شجاعت در پاسخ به اين سؤال شركت كرده‌اي تشكر مي‌كنيم.

فرستنده :
ياسين HyperLink HyperLink 1386/10/8
مـتـن : 1جوابدارد(سوال استقرا)
پاسـخ :تاريخ ارسال: 1386/10/6
ايميل فرستنده: tejaragh@yahoo.fr

ياسين جان!
راجع به علت جوابت هم توضيح بده! منتظر جوابت هستيم.
موفق باشي!

نظر شما پس از تاييد در سايت قرار داده خواهد شد
نام :
پست الکترونيکي :
صفحه شخصي :
نظر:
تاییدانصراف
 
 المپياد رياضي

 

     

 

 

صفحه‌ي اصلي

     

 

راهنماي سايت

     

 

 

آموزش

     

 

بانك سوال

     

 

 

مسابقه

     

 

 

زنگ تفريح

     

 

 

مصاحبه و گزارش

     

 

 

معرفي كتاب

     

 

 

مشاوره

     

 

 

پرسش‌و‌پاسخ‌علمي

     

 

اخبار

     

 

فعاليت‌هاي علمي

 بازديدها
كاربران غيرعضو آنلاينكاربران غيرعضو آنلاين:  3765
 كاربران عضو آنلاين:  0
  کل كاربران آنلاين:  3765