مسابقه‌ی تصادفی

 مسابقه‌های پربازدید
 
 آرشيو
 نامساوي‌ها در اعداد صحيح (مسابقه‌ي شماره‌ي 45)
نامساوي‌ها در اعداد صحيح (مسابقه‌ي شماره‌ي 45)مسابقه رياضي
اعداد اول و مركب ... سؤال همراه با جواب

نامساوي‌ها در اعداد صحيح






 

اشاره
آن‌چه كه با عنوان «چكيده» در اول مسابقه‌ها و زنگ تفريح‌ها مشاهده مي‌كنيد صرفاً مخصوص معلمان، مربيان، كارشناسان محترم آموزشي و ساير علاقه‌مندان است.



چكيده
 اهداف آموزشي
اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي - توانايي‌ها و مهارت‌هاي ذهني
- «فهميدن» > «تفسير» > « توانايي تشخيص و بيان نتيجه‌گيري‌هاي درست و نادرست از مجموعه‌اي از اطلاعات»
اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي - توانايي‌ها و مهارت‌هاي ذهني
- «فهميدن» > «برون‌يابي و درون‌يابي» > «توانايي پيش‌بيني يا براوردن نتايج فرض‌هاي مختلف»
 نتايج مورد نظر
- شناخت بيش‌تر از اعداد اول
- آشنايي با ويژگي‌هاي اعداد اول و اعداد مركب
- حل مسأله در زمينه‌ي بخش‌پذيري
محتواي آموزشي (سرفصل‌هاي المپياد جهاني)
- معادله‌ها و نامعادله‌ها





سؤال
فرض كنيد  عدد صحيحي است كه در رابطه‌ي ذيل صدق مي‌كند:





(رابطه‌ي 1)

 نيز بزرگ‌ترين عدد اول كوچك‌تر از  است.  به‌گونه‌اي انتخاب مي‌شود كه همواره رابطه‌ي ذيل برقرار باشد:





(رابطه‌‌ي 2)

ثابت كنيد  بر  بخش‌پذير نيست اما عدد مركب  با شرط ذيل بر  بخش‌پذير است:





(رابطه‌ي 3)



جواب

از آن‌جايي كه  داريم:




(رابطه‌ي 4)

بنابراين  بر هر يك از اعداد  بخش‌پذير نيست.

اما از آن‌جايي كه  عدد اول است بر  بخش‌پذير نيست؛ بنابراين  نيز اين‌گونه است.

اكنون عدد مركب ،  را درنظر بگيريد كه در رابطه‌ي 3 صدق كند. توجه كنيد كه  بنابراين داريم:




(رابطه‌ي 5)

و بنابراين داريم:




(رابطه‌ي 6)

 را بزرگ‌ترين عدد اول مقسوم‌عليه  درنظر بگيريد لذا داريم:




(رابطه‌ي 7)

بدين‌ترتيب سه حالت ممكن است اتفاق بيافتد:

حالت اول -

در اين حالت داريم:





(رابطه‌ي 8)

بنابراين خواهيم داشت:





(رابطه‌ي 9)





(رابطه‌ي 10)

بنابراين  و  اعداد صحيح مجزا هستند كه هر دو از  كوچك‌تر هستند.

لذا داريم:




(رابطه‌ي 11)

به‌عبارت ديگر  بر  بخش‌پذير است.



 حالت دوم -

اگر از رابطه‌ي 7 و 3 داريم:




(رابطه‌‌ي 12)

از آن‌جايي كه  بزرگ‌ترين عدد اول كوچك‌تر از  است بنابراين داريم:




(رابطه‌ي 13)

بنابراين خواهيم داشت:




(رابطه‌ي 14)

به‌علت اين‌كه  واضح است كه داريم:




(رابطه‌ي 15)

بنابراين  و 2 اعداد صحيح مجزايي كوچك‌تر از  هستند.

لذا بر  بخش‌پذير است.



 حالت سوم -

وقتي باشد  رابطه‌ي ذيل را ثابت مي‌كنيم:




(رابطه‌ي 16)

از برهان خلف استفاده مي‌كنيم به‌عبارت ديگر فرض مي‌كنيم رابطه‌ي 16 برقرار نباشد در اين صورت داريم:





(رابطه‌ي 17)

بنابراين داريم:





(رابطه‌ي 18)

هم‌چنين از آن‌جايي كه داريم:





(رابطه‌ي 19)

بنابراين خواهيم داشت:





(رابطه‌ي 20)

اگر  تناقض به‌وجود خواهد آمد.

اگر  يا  بنابراين از اين‌كه:  و نتيجه مي‌گيريم:




(رابطه‌ي 21)

و بنابراين خواهيم داشت:




(رابطه‌ي 22)

اما مي‌دانيم:




(رابطه‌ي 23)

و اين با فرض ‌در تناقض است.

بنابراين  و  اعداد حقيقي متمايز و كوچك‌تر يا مساوي بوده و  بنابراين حاصلضرب‌شان  بر بخش‌پذير است.

1386/10/12لينک مستقيم

فرستنده :
مهدي سليماني HyperLink HyperLink 1386/10/19
مـتـن : p
پاسـخ :ايميل فرستنده: kamran2005x@gmail.com
تاريخ ارسال: 1386/10/18

مهدي جان!
استدلالت رو به‌خوبي شروع كردي؛ با توجه به روابط موجود رابطه‌ي n و k را به‌دست بياور و استدلالت رو ادامه بده!
منتظر جوابت هستيم.
انشاءالله موفق باشي!

نظر شما پس از تاييد در سايت قرار داده خواهد شد
نام :
پست الکترونيکي :
صفحه شخصي :
نظر:
تاییدانصراف
 
 المپياد رياضي

 

     

 

 

صفحه‌ي اصلي

     

 

راهنماي سايت

     

 

 

آموزش

     

 

بانك سوال

     

 

 

مسابقه

     

 

 

زنگ تفريح

     

 

 

مصاحبه و گزارش

     

 

 

معرفي كتاب

     

 

 

مشاوره

     

 

 

پرسش‌و‌پاسخ‌علمي

     

 

اخبار

     

 

فعاليت‌هاي علمي

 بازديدها
كاربران غيرعضو آنلاينكاربران غيرعضو آنلاين:  4235
 كاربران عضو آنلاين:  0
  کل كاربران آنلاين:  4235