از آنجايي كه داريم:
(رابطهي 4)
بنابراين بر هر يك از اعداد بخشپذير نيست.
اما از آنجايي كه عدد اول است بر بخشپذير نيست؛ بنابراين نيز اينگونه است.
اكنون عدد مركب ، را درنظر بگيريد كه در رابطهي 3 صدق كند. توجه كنيد كه بنابراين داريم:
(رابطهي 5)
و بنابراين داريم:
(رابطهي 6)
را بزرگترين عدد اول مقسومعليه درنظر بگيريد لذا داريم:
(رابطهي 7)
بدينترتيب سه حالت ممكن است اتفاق بيافتد:
حالت اول -
در اين حالت داريم:
(رابطهي 8)
بنابراين خواهيم داشت:
(رابطهي 9)
(رابطهي 10)
بنابراين و اعداد صحيح مجزا هستند كه هر دو از كوچكتر هستند.
لذا داريم:
(رابطهي 11)
بهعبارت ديگر بر بخشپذير است.
حالت دوم -
اگر از رابطهي 7 و 3 داريم:
(رابطهي 12)
از آنجايي كه بزرگترين عدد اول كوچكتر از است بنابراين داريم:
(رابطهي 13)
بنابراين خواهيم داشت:
(رابطهي 14)
بهعلت اينكه واضح است كه داريم:
(رابطهي 15)
بنابراين و 2 اعداد صحيح مجزايي كوچكتر از هستند.
لذا بر بخشپذير است.
حالت سوم -
وقتي باشد رابطهي ذيل را ثابت ميكنيم:
(رابطهي 16)
از برهان خلف استفاده ميكنيم بهعبارت ديگر فرض ميكنيم رابطهي 16 برقرار نباشد در اين صورت داريم:
(رابطهي 17)
بنابراين داريم:
(رابطهي 18)
همچنين از آنجايي كه داريم:
(رابطهي 19)
بنابراين خواهيم داشت:
(رابطهي 20)
اگر تناقض بهوجود خواهد آمد.
اگر يا بنابراين از اينكه: و نتيجه ميگيريم:
(رابطهي 21)
و بنابراين خواهيم داشت:
(رابطهي 22)
اما ميدانيم:
(رابطهي 23)
و اين با فرض در تناقض است.
بنابراين و اعداد حقيقي متمايز و كوچكتر يا مساوي بوده و بنابراين حاصلضربشان بر بخشپذير است.