مسابقه‌ی تصادفی

 مسابقه‌های پربازدید
 
 آرشيو
 قضيه‌ي چبيشف (مسابقه‌ي شماره‌ي 46)
قضيه‌ي چبيشف (مسابقه‌ي شماره‌ي 46)مسابقه رياضي
اصل برتراند و استقرا ... سؤال همراه با جواب

قضيه‌ي چبيشف






اشاره

آن‌چه كه با عنوان «چكيده» در اول مسابقه‌ها و زنگ تفريح‌ها مشاهده مي‌كنيد صرفاً مخصوص معلمان، مربيان، كارشناسان محترم آموزشي و ساير علاقه‌مندان است.



چكيده
 اهداف آموزشي
اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي - دانش
    - «دانش امور جزوي» > «دانش واقعيت‌هاي مشخص»
    - «دانش راه‌ها و وسايل برخورد با امور جزوي» > «دانش روش‌ها يا روش‌شناسي»
    - «دانش امور كلي و مسائل انتزاعي» > «دانش اصل‌ها و تعميم‌ها»
اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي - توانايي‌ها و مهارت‌هاي ذهني
    - «فهميدن» > «درون‌يابي»
    - «فهميدن» > «تركيب» > «استنتاج مجموعه‌اي از روابط انتزاعي»
 نتايج مورد نظر
    - شناخت بيش‌تر از اصل برتراند و استقرا
    - آشنايي با روش اثبات با استقرا
    - حل مسأله در زمينه‌ي نظريه‌ي اعداد
محتواي آموزشي (سرفصل‌هاي المپياد جهاني)
    - نظريه‌ي اعداد > اصل برتراند






سؤال
ثابت كنيد به‌ازاي هر عدد ، اعداد صحيح  مي‌توانند به‌صورت زوج‌هايي نظير  تقسيم شوند به‌گونه‌اي كه براي هر  جمع دو عدد  يعني:  عددي «اول» باشد.



راهنمايي
از «اصل برتراند» و «استقرا» كمك بگيريد.

«پافنوتي لوويچ چبيشف»
(Pafnuty Lvovich Chebyshev)


مقدمه‌ي جواب

ابتدا لازم است از «اصل برتراند» و «قضيه‌ي چبيشف» براي‌تان بگوييم: «براي هر عدد صحيح  حداقل يك عدد اول بين  و  موجود است».

يا به‌قول رياضيداني به‌نام «ن. ج. فاين» (N. J. Fine):«چبيشف» اين مطلب را گفت ولي من آن را دوباره مي‌گويم؛ هميشه يك عدد اول بين  و  وجود دارد.

براي كسب اطلاعات بيش‌تر راجع به اين اصل و قضيه مي‌توانيد به وب‌سايت‌ها به‌‌نشاني ذيل و يا متون استاندارد «نظريه‌ي اعداد» مراجعه فرماييد:

http://mathworld.wolfram.com/BertrandsPostulate.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand%27s_postulate






ابتدا يك مثال ساده‌اي بزنيم تا براي بحث در مورد جواب انگيزه‌ي لازم را داشته باشيم:

فرض كنيد مي‌خواهيم اعداد 1 تا 8 را به‌صورت زوج‌هاي مرتبي دراوريم كه جمع هر دو عدد «اول» باشد.

ياداوري مي‌كنيم كه بين 8 تا 15 دو عدد اول وجود دارد كه عبارت‌اند از: 11 و 13. عدد 13 را در نظر مي‌گيريم. جمع زوج‌هاي  برابر عدد 13 است. بدين‌ترتيب تمام اعداد در زيرمجموعه‌ي 5 تا 8 را به‌طور كامل استفاده كرده‌ايم.

بنابراين كافي است زوج‌هاي باقي‌مانده از اعداد 1 تا 4 را بيابيم.

اين مثالي است از اين‌كه يك «استدلال استقرايي» چگونه در حل مسائل مي‌تواند مفيد باشد.




جواب

اما براي حل مسأله‌ي اصلي از «استقرا» استفاده مي‌كنيم:

براي شروع اثبات از طريق «استقرا»، ابتدا از حالت  (با اعداد صحيح 1 و 2) آغاز مي‌كنيم. به‌سادگي درمي‌يابيم براي  و  جمع اعداد 1 و 3 خواهد شد كه عددهايي اول هستند.

سپس اثبات مي‌كنيم كه حكم براي  از 1 تا  نيز صادق است. به‌عبارت:

«فرض كنيد براي هر  از 1 تا  اعداد صحيح  مي‌تواند به زوج‌هايي نظير:  تقسيم شود به‌گونه‌اي كه براي هر  جمع دو عدد يعني:  عددي «اول» باشد.

از فرض براي حالت  استفاده مي‌كنيم. يعني بايد زوج اعداد از 1 تا  داراي اين ويژگي باشند. با استفاده از «اصل برتراند» مطمئن هستيم بين  و  عدد اولي نظير:  وجود دارد.

لذا داريم:




(رابطه‌ي 1)

از رابطه‌ي 1 رابطه‌ي ذيل را درمي‌يابيم:







(رابطه‌ي 2)

لذا زوج‌هاي ذيل داراي جمع  هستند:











(رابطه‌ي 3)

توجه كنيد كه جمع ارقام هر زوج همان عدد  بوده و همه‌ي اعداد صحيح از  تا  استفاده شده‌اند.

از آن‌جايي كه  و نهايتاً  نيز اعدادي «زوج» هستند فرض استقرا مي‌تواند براي زوج‌هاي اعداد از 1 تا  نيز به‌كار رفته و بدين‌ترتيب حكم ثابت مي‌شود.

1386/10/20لينک مستقيم

نظر شما پس از تاييد در سايت قرار داده خواهد شد
نام :
پست الکترونيکي :
صفحه شخصي :
نظر:
تاییدانصراف
 
 المپياد رياضي

 

     

 

 

صفحه‌ي اصلي

     

 

راهنماي سايت

     

 

 

آموزش

     

 

بانك سوال

     

 

 

مسابقه

     

 

 

زنگ تفريح

     

 

 

مصاحبه و گزارش

     

 

 

معرفي كتاب

     

 

 

مشاوره

     

 

 

پرسش‌و‌پاسخ‌علمي

     

 

اخبار

     

 

فعاليت‌هاي علمي

 بازديدها
كاربران غيرعضو آنلاينكاربران غيرعضو آنلاين:  8886
 كاربران عضو آنلاين:  0
  کل كاربران آنلاين:  8886