مسابقه‌ی تصادفی

 مسابقه‌های پربازدید
 
 آرشيو
 مقسوم‌عليه مشترك (مسابقه‌ي شماره‌ي 47)
مقسوم‌عليه مشترك (مسابقه‌ي شماره‌ي 47)مسابقه رياضي
قضيه‌ي چندجمله‌اي ... سؤال همراه با جواب

مقسوم‌عليه مشترك







اشاره

آن‌چه كه با عنوان «چكيده» در اول مسابقه‌ها و زنگ تفريح‌ها مشاهده مي‌كنيد صرفاً مخصوص معلمان، مربيان، كارشناسان محترم آموزشي و ساير علاقه‌مندان است.



چكيده
 اهداف آموزشي
اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي - توانايي‌ها و مهارت‌هاي ذهني
    - «فهميدن» > «درون‌يابي»
    - «فهميدن» > «تركيب» > «توليد يك نقشه يا مجموعه اقدام‌هاي پيشنهادي»
    - «فهميدن» > «تركيب» > «استنتاج مجموعه‌اي از روابط انتزاعي»

 نتايج مورد نظر
    - حل مسأله در زمينه‌ي مقسوم‌عليه‌هاي مشترك
محتواي آموزشي (سرفصل‌هاي المپياد جهاني)
    - استقرا
    - نظريه‌ي اعداد





سؤال
بزرگ‌ترين مقسوم‌عليه مشترك 693 عدد صحيح ذيل را بيابيد:






ياداوري –
منظور از ، عبارت از تعداد مجموعه‌هاي  شيء است كه مي‌تواند از مجموعه‌اي از  شيء تشكيل شود.



جواب

فرض كنيد  بزرگ‌ترين مقسوم‌عليه مشتركي باشد كه به‌دنبال يافتن آن هستيم. نشان خواهيم داد كه:




(رابطه‌ي 1)

مرحله‌ي اول – بزرگ‌ترين مقسوم‌عليه مشترك  بر  بخش‌پذير است.

براي اثبات از «فرمول چندجمله‌اي» استفاده مي‌كنيم:








(رابطه‌ي 2)











(رابطه‌ي 3)

با كم كردن رابطه‌ي 3 از رابطه‌ي 2 خواهيم داشت:








(رابطه‌ي 4)

بنابراين بزرگ‌ترين مقسوم‌عليه مشترك  از ‌بايد بر  جمع آن‌ها يعني بخش‌پذير باشد. همان‌طور كه فرض شده بود.

 مرحله‌ي دوم – چون بزرگ‌ترين مقسوم‌عليه مشترك  بايد بر بخش‌پذير باشد اثبات مي‌كنيم كه  يا 1 است يا 2.

 مرحله‌ي سوم – براي  «زوج» است.

براي اثبات از اتحاد ذيل استفاده مي‌كنيم:






(رابطه‌ي 5)

در اين صورت خواهيم داشت:






(رابطه‌ي 6)

از آن‌جايي كه سمت راست رابطه‌ي 6 عددي «صحيح» و «زوج» است و اين در حالي است كه  هميشه «فرد» است نتيجه مي‌گيريم كه  بايد «زوج» باشد. بنابراين همه‌ي ضرايب چندجمله‌اي ما «زوج» خواهد بود.

در نتيجه چون بزرگ‌ترين مقسوم‌عليه مشترك  برابر 2 خواهد بود همان‌طور كه ادعا كرده بوديم.

در مرحله‌ي 3 از روابطي استفاده كرديم كه به‌وسيله‌ي يك اتحاد آشنا به‌دست آورده‌ايم:









(رابطه‌ي 7)

يا اين‌كه مي‌توانيم از «استدلال كميته‌اي» استفاده كنيم:

براي انتخاب كميته‌اي  عضوي با يك رئيس مي‌توانيم يكي از ‌عضو را (با يكي از روش) برگزينيم و سپس رئيس را از ميان آن‌ها انتخاب كنيم يا اين‌كه مي‌توانيم رئيس را از تمام اعضاي گروه ( نفر) برگزينيم و سپس ‌عضو آن گروه را از  عضو آن گروه انتخاب نماييم.

به‌جاي راه‌حل مرحله‌ي اول مي‌توان از راه ديگري نيز استفاده كرد. از آن‌جايي كه داريم:






(رابطه‌ي 7)

اين رابطه نشان مي‌دهد كه ،  و  به‌ترتيب بر 7، 9 و 11 بخش‌‌پذير نيستند.

نتيجه‌‌هايي كلي‌تر از اين استدلال مي‌توان به‌دست آورد:

نتيجه‌ي الف
براي عدد «فردي» نظير: ، بزرگ‌ترين مقسوم‌عليه مشترك  برابر  است.

 نتيجه‌ي ب
اگر  عددي اول باشد و  عدد صحيح ثابتي فرض شود كه نسبت به  «اول» است  بزرگ‌ترين مقسوم‌عليه مشترك اعداد به‌شكل است كه در آن:

 

 نسبت به  اول است.


براي اثبات نتيجه‌ي ب، كافي است در مرحله‌‌ي اول بگوييم: اگر  يك مقسوم‌عليه  و بزرگ‌ترين توان  باشد كه بر  بخش‌پذير است پس  بر  بخش‌پذير نخواهد بود. مي‌توانيد خودتان اين اثبات را ادامه داده به نتيجه برسانيد.

1386/10/26لينک مستقيم

فرستنده :
ناشناس HyperLink HyperLink 1386/11/7
مـتـن : 2
پاسـخ :تاريخ ارسال: 1386/11/6

دوست خوبم!
جواب شما كاملا صحيح است ولي راجع به علتش هم براي دوستانت توضيح بده!
انشاءالله موفق باشي!

فرستنده :
ناشناس HyperLink HyperLink 1386/11/7
مـتـن : 693
پاسـخ :دوست خوبم!
راجع به علت جوابت هم توضيح بده!
انشاءالله موفق باشي!

فرستنده :
ناشناس HyperLink HyperLink 1386/11/7
مـتـن : با عرض سلام خسته نباشید،
من چگونه باید پاسخ دهم؛با توجه به این که دو بار به این سوال پاسخ دادم و در این قسمت نوشتم؛اما ثبت نشده است.
پاسـخ :تاريخ ارسال: 1386/11/2
ايميل فرستنده: f_pouranme@yahoo.com

دوست خوبم!
جواب‌هاي ارسالي توسط شما دوستان گرامي پس از تأييد توسط دبيران المپياد رياضي قابل نمايش خواهد بود.
از اين كه در تأييد جواب شما تأخير شد عذرخواهي مي‌كنيم. اميدوارم ما را ببخشيد.
منتظر حضور فعالت در ساير مسابقه‌ها هستيم.

فرستنده :
فرداد HyperLink HyperLink 1386/11/7
مـتـن : (1386),(1386!/3!1383!),…,(1386!/1383!3!),(1386)
چون از وسط به بعد تکراری می شود و همه اعداد،صحیح مثبت هستند و بر 1386 بخشپذیرند و فقط می توان از 1386 فاکتور گرفت،بنابراین 1386،ب.م.م است.

در همه 1386 وجود دارد و فقط می توان از آن فاکتور گرفت.دنباله بدین صورت است:
1386,1386!/3!1383!,…,1386!/1383!3!,1386
پاسـخ :ايميل فرستنده: f_pouranme@yahoo.com
تاريخ ارسال: 1386/10/27

فرداد جان!
شروع استدلالت بسيار زيبا است و روابط مربوط به (m!/n!*(m-n)!) را درست نوشته‌اي ولي آيا (1386!/1383!3!) بر 1386 بخش‌پذير است!
اگر دقت كنيد مي‌بينيد چنين نيست.
انشاءالله موفق باشي!

فرستنده :
کیارش جدری HyperLink HyperLink 1386/10/29
مـتـن : 1
پاسـخ :اييميل فرستنده: kiarash322000@yahoo.com
تاريخ ارسال: 1386/10/27

كيارش جان!
از اين‌كه با شجاعت در مسابقه شركت كردي شما را تحسين مي‌كنيم. راجع به علت جوابت هم توضيح بيش‌تري بده!
انشاءالله موفق باشي!

نظر شما پس از تاييد در سايت قرار داده خواهد شد
نام :
پست الکترونيکي :
صفحه شخصي :
نظر:
تاییدانصراف
 
 المپياد رياضي

 

     

 

 

صفحه‌ي اصلي

     

 

راهنماي سايت

     

 

 

آموزش

     

 

بانك سوال

     

 

 

مسابقه

     

 

 

زنگ تفريح

     

 

 

مصاحبه و گزارش

     

 

 

معرفي كتاب

     

 

 

مشاوره

     

 

 

پرسش‌و‌پاسخ‌علمي

     

 

اخبار

     

 

فعاليت‌هاي علمي

 بازديدها
كاربران غيرعضو آنلاينكاربران غيرعضو آنلاين:  535
 كاربران عضو آنلاين:  0
  کل كاربران آنلاين:  535