قضاياي ذيل را فرض شده مي‌انگاريم: فرض كنيد  عدد طبيعي بوده و  و  اعدادي صحيح باشند. در اين صورت شرط لازم و كافي براي اين‌كه رابطه‌ي هم‌نهشتي ذيل برقرار باشد:

(رابطه‌ي 1)

به‌عبارت ديگر عددي صحيح مانند  وجود داشته باشد كه:  آن است كه رابطه‌ي ذيل برقرار باشد:

(رابطه‌ي 2)

در رابطه‌ي 2 منظور از  مقسوم‌عليه مشترك  و  است.

فرض كنيد اعداد  طبيعي باشند كه دو به دو هستند. هم‌چنين فرض كنيد  اعدادي صحيح باشند. در اين‌صورت دستگاه معادله‌هاي هم‌نهشتي ذيل جواب داشته و هر دو جواب آن به‌پيمانه‌ي  هم‌نهشت هستند:

(رابطه‌ي 4)

(رابطه‌ي 5)

نشان دهيد كه مقدار  به نوع چندجمله‌اي بستگي ندارد و مقدار آن را نيز بيابيد.

از آن‌جايي كه  چندجمله‌اي با ضرايب صحيح مي‌تواند به‌شكل ذيل نوشته شود:

(رابطه‌ي 7)

كه در آن  يك چندجمله‌اي با ضرايب صحيح است در نتيجه رابطه‌ي ذيل براي همه‌ي مقادير صحيح برقرار خواهد بود:

(رابطه‌ي 8)

بدين‌ترتيب روابط ذيل صادق خواهد بود:

(رابطه‌ي 9)

(رابطه‌ي 10)

از آن‌جايي كه بزرگ‌ترين مقسوم‌عليه مشترك 7 و 100 عدد 1 است (نسبت به هم اول هستند يا )، مي‌توانيم از قضيه‌ي «باقي‌مانده‌ي چيني» (Chinese Remainder Theorem) استفاده كرده رابطه‌ي ذيل را به‌دست آوريم:

(رابطه‌ي 11)

بنابراين تنها مقدار  در  برابر 687 خواهد بود.