مسابقه‌ی تصادفی

 مسابقه‌های پربازدید
 
 آرشيو
 چندجمله‌اي با ضرايب صحيح (مسابقه‌ي شماره‌ي 74)
چندجمله‌اي با ضرايب صحيح (مسابقه‌ي شماره‌ي 74)مسابقه رياضي
قضيه‌ي «باقي‌مانده‌ي چيني» (Chinese Remainder Theorem) ... سؤال همراه با جواب

چندجمله‌اي

با ضرايب صحيح








اشاره
آن‌چه با عنوان «چكيده» در اول مسابقه‌ها و زنگ‌تفريح‌ها مشاهده مي‌كنيد صرفاً مخصوص معلمان، مربيان، كارشناسان محترم آموزشي و ساير علاقه‌مندان است.




چكيده
اهداف آموزشي
 اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي – دانش
    - «دانش امور جزوي» > «دانش اصطلاح‌ها»
    - «دانش راه‌ها و وسايل برخورد با امور جزوي» > «دانش روش‌ها و روش‌شناسي»
    - «دانش امور كلي و مسائل انتزاعي» > «دانش اصل‌ها و تعميم‌ها»
 اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي - توانايي‌ها و مهارت‌هاي ذهني
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «تفسير»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «برون‌يابي»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «كاربستن»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «تحليل» > «تحليل روابط»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «تركيب» > «توليد يك نقشه يا مجموعه‌ اقدام‌هاي پيشنهادي»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «تركيب» > «استنتاج مجموعه‌اي از روابط انتزاعي»
 نتايج مورد نظر 
    - آشنايي با هم‌نهشتي و قضاياي آن
    - روش حل مسأله با استفاده از قضاياي هم نهشتي
 محتواي آموزشي
    - نظريه‌ي اعداد > هم‌نهشتي.




مقدمه

قضاياي ذيل را فرض شده مي‌انگاريم:

قضيه‌ي شماره‌ي 1
فرض كنيد  عدد طبيعي بوده و  و  اعدادي صحيح باشند. در اين صورت شرط لازم و كافي براي اين‌كه رابطه‌ي هم‌نهشتي ذيل برقرار باشد:

قضاياي ذيل را فرض شده مي‌انگاريم: فرض كنيد  عدد طبيعي بوده و  و  اعدادي صحيح باشند. در اين صورت شرط لازم و كافي براي اين‌كه رابطه‌ي هم‌نهشتي ذيل برقرار باشد:



(رابطه‌ي 1)

به‌عبارت ديگر عددي صحيح مانند  وجود داشته باشد كه:  آن است كه رابطه‌ي ذيل برقرار باشد:



(رابطه‌ي 2)

در رابطه‌ي 2 منظور از  مقسوم‌عليه مشترك  و  است.




 قضيه‌ي ‌شماره‌ي 2 – قضيه‌ي «باقي‌مانده‌ي چيني» (Chinese Remainder Theorem)
فرض كنيد اعداد  طبيعي باشند كه دو به دو «نسبت به هم اول» هستند.

هم‌چنين فرض كنيد  اعدادي صحيح باشند. در اين‌صورت دستگاه معادله‌هاي هم‌نهشتي ذيل جواب داشته و هر دو جواب آن به‌پيمانه‌ي  هم‌نهشت هستند:

فرض كنيد اعداد  طبيعي باشند كه دو به دو هستند. هم‌چنين فرض كنيد  اعدادي صحيح باشند. در اين‌صورت دستگاه معادله‌هاي هم‌نهشتي ذيل جواب داشته و هر دو جواب آن به‌پيمانه‌ي  هم‌نهشت هستند:












(رابطه‌ي 3)



سؤال
تمام چندجمله‌اي‌هاي  با ضرايب صحيح را بيابيد به‌گونه‌اي كه رابطه‌هاي ذيل برقرار باشد:




(رابطه‌ي 4)




(رابطه‌ي 5)

نشان دهيد كه مقدار  به نوع چندجمله‌اي بستگي ندارد و مقدار آن را نيز بيابيد.




راهنمايي
اين مسأله ممكن است با استفاده از نتيجه‌ي قطعي ذيل نيز حل شود:

اگر  چندجمله‌اي با ضرايب صحيح باشد براي هر عدد صحيح  و ،  مضربي از است.

در حالت خاص براي حالتي كه رابطه‌ي ذيل برقرار باشد:




(رابطه‌ي 6)

مضربي از  خواهد بود.




جواب

از آن‌جايي كه  چندجمله‌اي با ضرايب صحيح مي‌تواند به‌شكل ذيل نوشته شود:





(رابطه‌ي 7)

كه در آن  يك چندجمله‌اي با ضرايب صحيح است در نتيجه رابطه‌ي ذيل براي همه‌ي مقادير صحيح برقرار خواهد بود:





(رابطه‌ي 8)

بدين‌ترتيب روابط ذيل صادق خواهد بود:





(رابطه‌ي 9)





(رابطه‌ي 10)

از آن‌جايي كه بزرگ‌ترين مقسوم‌عليه مشترك 7 و 100 عدد 1 است (نسبت به هم اول هستند يا )، مي‌توانيم از قضيه‌ي «باقي‌مانده‌ي چيني» (Chinese Remainder Theorem) استفاده كرده رابطه‌ي ذيل را به‌دست آوريم:





(رابطه‌ي 11)

بنابراين تنها مقدار  در  برابر 687 خواهد بود.

1387/2/20لينک مستقيم

فرستنده :
ناشناس HyperLink HyperLink 1387/3/11
مـتـن : 93
پاسـخ :دوست خوبم!
سلام
از شما به‌خاطر حضور فعال در بخش مسابقه تشكر مي‌كنيم.
اما دوست خوبم!
راجع به علت اين جوابت ما و دوستات رو مطلع كن.
شايد جواب ديگه‌اي به‌دست بياري!
انشاءالله موفق باشي!
منتظر استدلالت هستيم. شايد جواب ديگري رو به

نظر شما پس از تاييد در سايت قرار داده خواهد شد
نام :
پست الکترونيکي :
صفحه شخصي :
نظر:
تاییدانصراف
 
 المپياد رياضي

 

     

 

 

صفحه‌ي اصلي

     

 

راهنماي سايت

     

 

 

آموزش

     

 

بانك سوال

     

 

 

مسابقه

     

 

 

زنگ تفريح

     

 

 

مصاحبه و گزارش

     

 

 

معرفي كتاب

     

 

 

مشاوره

     

 

 

پرسش‌و‌پاسخ‌علمي

     

 

اخبار

     

 

فعاليت‌هاي علمي

 بازديدها
كاربران غيرعضو آنلاينكاربران غيرعضو آنلاين:  4179
 كاربران عضو آنلاين:  0
  کل كاربران آنلاين:  4179