مسابقه‌ی تصادفی

 مسابقه‌های پربازدید
 
 آرشيو
 سيزده ضلعي منتظم (مسابقه‌ي شماره‌ي 75)
سيزده ضلعي منتظم (مسابقه‌ي شماره‌ي 75)مسابقه رياضي
سيزده ضلعي منتظم محاط در اقطار برابر يك سيزده ضلعي منتظم! ... سؤال همراه با جواب

سيزده ضلعي منتظم






اشاره
آن‌چه با عنوان «چكيده» در اول مسابقه‌ها و زنگ‌تفريح‌ها مشاهده مي‌كنيد صرفاً مخصوص معلمان، مربيان، كارشناسان محترم آموزشي و ساير علاقه‌مندان است.




چكيده
اهداف آموزشي
 اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي – دانش
    - «دانش راه‌ها و وسايل برخورد با امور جزوي» > «دانش روش‌ها و روش‌شناسي»
 اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي - توانايي‌ها و مهارت‌هاي ذهني
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «تفسير»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «برون‌يابي»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «كاربستن»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «تحليل» < «تحليل روابط»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «تركيب» > «توليد يك نقشه يا مجموعه‌ اقدام‌هاي پيشنهادي»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «تركيب» > «استنتاج مجموعه‌اي از روابط انتزاعي»
 نتايج مورد نظر 
    - آشنايي با سيزده‌ضلعي‌ها
    - روش حل مسأله در مورد چندضلعي‌ها
 محتواي آموزشي
    - هندسه.







شكل 1.

سؤال

فرض كنيد  يك 13 ضلعي منتظم باشد. براي  مقادير اقطار سيزده‌ضلعي مذكور  به‌صورت ذيل تعريف مي‌شوند (شكل 1):

فرض كنيد  يك 13 ضلعي منتظم باشد. براي  مقادير اقطار سيزده‌ضلعي مذكور  به‌صورت ذيل تعريف مي‌شوند (شكل 1):




(رابطه‌ي 1)

13 قطري از اين سيزده‌ضلعي كه داراي طول برابر با  هستند بر يك سيزده‌ضلعي منتظم كوچك‌تر محيط مي‌شوند كه طول اضلاعش را با  مشخص مي‌كنيم.

مقدار را به‌صورت ذيل بيان كنيد:




(رابطه‌ي 2)

كه در آن  ضرايب اعداد صحيح هستند.








شكل 2.




راهنمايي 1
يك راه‌حل اين است كه فرض كنيد:

- نقطه‌ي  محل تقاطع خطوط و
- نقطه‌ي  محل تقاطع خطوط  و
- نقطه‌ي  محل تقاطع خطوط  و
- نقطه‌ي  محل تقاطع خطوط  و 

باشد. از آن‌جايي كه ،  و  اقطار 13 ضلعي با طول  بوده  طول 13 ضلعي كوچك‌تر است بنابراين رابطه‌ي ذيل برقرار است (شكل 2):





(رابطه‌ي 3)



راهنمايي 2
در هندسه، زماني كه به‌دنبال روابط بين طول‌ها هستيم اغلب براي محاسبه‌ي طول پاره‌خط مفيد است كه تمام طول‌هاي مورد سؤال را با هم جمع ببنديم. در راه‌حل ذيل، اين پاره‌خط‌ها با استفاده از تقارن 13 ضلعي منتظم ايجاد شده است.




 

جواب
فرض كنيد موارد ذيل برقرار باشد:

- نقطه‌ي  محل تقاطع خطوط و
- نقطه‌ي  محل تقاطع خطوط  و
- نقطه‌ي  محل تقاطع خطوط  و
- نقطه‌ي  محل تقاطع خطوط  و 

از آن‌جايي كه ،  و  اقطار 13 ضلعي با طول  بوده طول 13 ضلعي كوچك‌تر است بنابراين رابطه‌ي ذيل برقرار است:





(رابطه‌ي 3)

با استفاده از «تقارن» رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد:





(ربطه‌ي 4)

متغير  را به‌صورت ذيل تعريف مي‌كنيم:





(رابطه‌ي 5)

بنابراين رابطه‌‌هاي ذيل برقرار است:





(رابطه‌ي 6)





(رابطه‌‌ي 7)

اقطار  و  با هم هم‌چنين اقطار  و  با هم موازي هستند؛ بنابراين چهارضلعي  يك «متوازي‌الاضلاع» است. بنابراين رابطه‌هاي ذيل برقرار خواهد بود:





(رابطه‌ي 8)





(رابطه‌ي 9)





(رابطه‌ي 10)

از آن‌جايي كه و  با هم و  و  با هم موازي هستند چهارضلعي  «متوازي‌الاضلاع» خواهد بود. بنابراين رابطه‌ي ذيل برقرار خواهد بود:





(رابطه‌ي 11)

با جايگذاري رابطه‌ي 11 در رابطه‌ي 10، رابطه‌هاي ذيل به‌دست خواهد آمد:





(رابطه‌ي 12)





(رابطه‌ي 13)





(رابطه‌ي 14)

نهايتاً از آن‌جايي كه  و  با هم و  و  با هم موازي هستند چهارضلعي يك متوازي‌الاضلاع است. بنابراين رابطه‌ي ذيل برقرار خواهد بود:





(رابطه‌ي 15)

با جايگذاري رابطه‌ي 15 در رابطه‌ي 14، رابطه‌هاي به‌دست خواهد آمد:





(رابطه‌ي 16)





(رابطه‌ي 17)





(رابطه‌ي 18)

از رابطه‌ي فوق به‌سادگي رابطه‌ي ذيل را مي‌توانيم بيابيم:





(رابطه‌ي 19)

از آن‌جايي كه رابطه‌ي ذيل برقرار است:







(رابطه‌ي 20)

رابطه‌ي ذيل را خواهيم داشت:





(رابطه‌ي 21)

1387/2/27لينک مستقيم

نظر شما پس از تاييد در سايت قرار داده خواهد شد
نام :
پست الکترونيکي :
صفحه شخصي :
نظر:
تاییدانصراف
 
 المپياد رياضي

 

     

 

 

صفحه‌ي اصلي

     

 

راهنماي سايت

     

 

 

آموزش

     

 

بانك سوال

     

 

 

مسابقه

     

 

 

زنگ تفريح

     

 

 

مصاحبه و گزارش

     

 

 

معرفي كتاب

     

 

 

مشاوره

     

 

 

پرسش‌و‌پاسخ‌علمي

     

 

اخبار

     

 

فعاليت‌هاي علمي

 بازديدها
كاربران غيرعضو آنلاينكاربران غيرعضو آنلاين:  4439
 كاربران عضو آنلاين:  0
  کل كاربران آنلاين:  4439