پيدا كردن دنباله‌ي بهينه مشكل نيست اما نياز به استدلال دقيق دارد تا نشان دهيم قطعاً داراي مقدار حداقل هستيم. به‌خصوص استفاده از «الگوريتم گريدي» كافي نيست.

شرايط مطرح شده به‌شكل رابطه‌هاي 1 و 2 بايد به‌طور مؤثر استفاده شود.

ادعا مي‌كنيم حداقل مقدار  عبارت از  است.

اين مقدار از دنباله‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد:

	اگر  عددي «فرد» باشد رابطه‌ي ذيل برقرار است: (رابطه‌ي 3)
	اگر  عددي «زوج» باشد رابطه‌ي ذيل برقرار است: (رابطه‌ي 4)

به‌علاوه اگر  عددي «زوج» باشد رابطه‌‌هاي ذيل برقرار است:

(رابطه‌‌ي 5)

در اين صورت هر دو مقدار  و  از  كوچك‌تر هستند. بنابراين هيچ دو عبارت پشت سر هم در دنباله‌ي مذكور برابر نيستند لذا شرط مندرج در رابطه‌ي 1 صادق خواهد بود.

	براي مقادير «زوج»  مقدار  از رابطه‌‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد: (رابطه‌ي 7)
	براي مقادير «فرد»  مقدار از رابطه‌‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد:   (رابطه‌ي 8)

اگر  باشد طبق رابطه‌ي 8 رابطه‌ي ذيل را خواهيم داشت:

(رابطه‌ي 9)

بنابراين  حداقل خواهد بود.

براي  اگر  باشد در اين صورت رابطه‌ي ذيل برقرار خواهد بود:

(رابطه‌ي 10)

رابطه‌ي 10 با رابطه‌ي 1 در تناقض خواهد بود. بنابراين حداقل مقدار  برابر  خواهد بود.

اكنون فرض مي‌كنيم براي بعضي از اعداد صحيح مثبت  رابطه‌ي ذيل برقرار باشد:

(رابطه‌‌ي 11)

فرض كنيد دنباله‌ي  به‌صورت ذيل باشد:

(رابطه‌ي 12)

دنباله‌ي  بايد مضربي از عدد  باشد.

رابطه‌ي ذيل را خواهيم داشت:

هم‌چنين روابط ذيل صادق خواهد بود:

(رابطه‌ي 14)

بنابراين حداقل مقدار  - كه بزرگ‌تر از  باشد – عبارت است از: .

از آن‌جايي كه رابطه‌ي ذيل برقرار است:

(رابطه‌ي 15)

رابطه‌هاي ذيل را خواهيم داشت:

(رابطه‌ي 16)

(رابطه‌ي 17)

توجه داشته باشيد كه  مضربي از  است. بزرگ‌ترين مضرب ديگر  برابر با  است.

فرض كنيد رابطه‌ي ذيل برقرار باشد:

(رابطه‌ي 18)

بنابراين روابط ذيل را خواهيم داشت:

(رابطه‌ي 19)

بنابراين بزرگ‌ترين مضرب  كوچك‌تر از  برابر  است.

از آن‌جايي كه رابطه‌ي ذيل برقرار است:

(رابطه‌‌ي 20)

بنابراين رابطه‌ي ذيل برقرار خواهد بود:

(رابطه‌ي 21)

اما قبلاً رابطه‌ي ذيل را نشان داده‌ايم:

(رابطه‌ي 22)

لذا روابط ذيل صادق خواهد بود:

(رابطه‌ي 23)

(رابطه‌ي 24)

بنابراين  بزرگ‌ترين مضرب  محسوب مي‌شود كه از  كوچك‌تر است.

از آن‌جايي كه رابطه‌ي ذيل برقرار است:

(رابطه‌ي 25)

خواهيم داشت:

(رابطه‌ي 26)

اما از آن‌جايي كه رابطه‌ي ذيل برقرار است:

(رابطه‌ي 27)

رابطه‌ها‌ي ذيل را خواهيم داشت:

(رابطه‌ي 28)

(رابطه‌ي 29)

(رابطه‌ي 30)

رابطه‌ي 30 با شرط مندرج در رابطه‌ي 1 در تناقض است.

بنابراين رابطه‌ي ذيل برقرار خواهد بود:

(رابطه‌ي 31)

در نتيجه مقدار  از رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد:

(رابطه‌ي 32)

بنابراين استدلال به‌روش استقرا كامل خواهد شد.

لذا حداقل مقدار  از رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد: