مسابقه‌ی تصادفی

 مسابقه‌های پربازدید
 
 آرشيو
 دنباله‌اي از اعداد صحيح و مثبت (مسابقه‌ي شماره‌ي 76)
دنباله‌اي از اعداد صحيح و مثبت (مسابقه‌ي شماره‌ي 76)مسابقه رياضي
نظريه‌ي اعداد و استقرا ... سؤال همراه با جواب

دنباله‌اي از اعداد صحيح و مثبت







اشاره
آن‌چه با عنوان «چكيده» در اول مسابقه‌ها و زنگ‌تفريح‌ها مشاهده مي‌كنيد صرفاً مخصوص معلمان، مربيان، كارشناسان محترم آموزشي و ساير علاقه‌مندان است.




چكيده
اهداف آموزشي
 اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي – دانش
    - «دانش راه‌ها و وسايل برخورد با امور جزوي» > «دانش روش‌ها و روش‌شناسي»
 اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي - توانايي‌ها و مهارت‌هاي ذهني
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «تفسير»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «درون‌يابي»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «كاربستن»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «تحليل» > «تحليل روابط»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «تركيب» > «توليد يك نقشه يا مجموعه‌ اقدام‌هاي پيشنهادي»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «تركيب» > «استنتاج مجموعه‌اي از روابط انتزاعي»
 نتايج مورد نظر 
    - آشنايي با استقرا
    - روش حل مسأله با استفاده از استقرا
 محتواي آموزشي
    - نظريه‌ي اعداد و استقرا.




سؤال
دنباله‌اي از اعداد صحيح مثبت  داراي شرايط ذيل است:

 براي مقادير  رابطه‌ي ذيل برقرار است:




(رابطه‌ي 1)

 براي مقادير صحيح  رابطه‌ي ذيل صادق است:




(رابطه‌‌ي 2)

حداقل مقدار ممكن  را بيابيد.




راهنمايي

پيدا كردن دنباله‌ي بهينه مشكل نيست اما نياز به استدلال دقيق دارد تا نشان دهيم قطعاً داراي مقدار حداقل هستيم. به‌خصوص استفاده از «الگوريتم گريدي» كافي نيست.

شرايط مطرح شده به‌شكل رابطه‌هاي 1 و 2 بايد به‌طور مؤثر استفاده شود.




 

جواب

راه‌حل اول

ادعا مي‌كنيم حداقل مقدار  عبارت از  است.




ياداوري
منظور از  بزرگ‌ترين عدد صحيح كوچك‌تر از  است.




اين مقدار از دنباله‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد:

 اگر  عددي «فرد» باشد رابطه‌ي ذيل برقرار است:






(رابطه‌ي 3)

 اگر  عددي «زوج» باشد رابطه‌ي ذيل برقرار است:








(رابطه‌ي 4)

به‌علاوه اگر  عددي «زوج» باشد رابطه‌‌هاي ذيل برقرار است:





(رابطه‌‌ي 5)







(رابطه‌ي 6)

در اين صورت هر دو مقدار  و  از  كوچك‌تر هستند. بنابراين هيچ دو عبارت پشت سر هم در دنباله‌ي مذكور برابر نيستند لذا شرط مندرج در رابطه‌ي 1 صادق خواهد بود.

 براي مقادير «زوج»  مقدار  از رابطه‌‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد:


























(رابطه‌ي 7)

 براي مقادير «فرد»  مقدار از رابطه‌‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد:





 




















(رابطه‌ي 8)


اكنون با استقرا ثابت مي‌كنيم رابطه‌هاي 7 و 8 حداقل مقدار  محسوب مي‌شوند.

اگر  باشد طبق رابطه‌ي 8 رابطه‌ي ذيل را خواهيم داشت:





(رابطه‌ي 9)

بنابراين  حداقل خواهد بود.

براي  اگر  باشد در اين صورت رابطه‌ي ذيل برقرار خواهد بود:





(رابطه‌ي 10)

رابطه‌ي 10 با رابطه‌ي 1 در تناقض خواهد بود. بنابراين حداقل مقدار  برابر  خواهد بود.

اكنون فرض مي‌كنيم براي بعضي از اعداد صحيح مثبت  رابطه‌ي ذيل برقرار باشد:





(رابطه‌‌ي 11)

فرض كنيد دنباله‌ي  به‌صورت ذيل باشد:





(رابطه‌ي 12)

دنباله‌ي  بايد مضربي از عدد  باشد.

رابطه‌ي ذيل را خواهيم داشت:







(رابطه‌ي 13)

هم‌چنين روابط ذيل صادق خواهد بود:







(رابطه‌ي 14)

بنابراين حداقل مقدار  - كه بزرگ‌تر از  باشد – عبارت است از: .

از آن‌جايي كه رابطه‌ي ذيل برقرار است:





(رابطه‌ي 15)

رابطه‌هاي ذيل را خواهيم داشت:





(رابطه‌ي 16)





(رابطه‌ي 17)

توجه داشته باشيد كه  مضربي از  است. بزرگ‌ترين مضرب ديگر  برابر با  است.

فرض كنيد رابطه‌ي ذيل برقرار باشد:





(رابطه‌ي 18)

بنابراين روابط ذيل را خواهيم داشت:










(رابطه‌ي 19)

بنابراين بزرگ‌ترين مضرب  كوچك‌تر از  برابر  است.

از آن‌جايي كه رابطه‌ي ذيل برقرار است:





(رابطه‌‌ي 20)

بنابراين رابطه‌ي ذيل برقرار خواهد بود:





(رابطه‌ي 21)

اما قبلاً رابطه‌ي ذيل را نشان داده‌ايم:





(رابطه‌ي 22)

لذا روابط ذيل صادق خواهد بود:





(رابطه‌ي 23)





(رابطه‌ي 24)

بنابراين  بزرگ‌ترين مضرب  محسوب مي‌شود كه از  كوچك‌تر است.

از آن‌جايي كه رابطه‌ي ذيل برقرار است:





(رابطه‌ي 25)

خواهيم داشت:





(رابطه‌ي 26)

اما از آن‌جايي كه رابطه‌ي ذيل برقرار است:





(رابطه‌ي 27)

رابطه‌ها‌ي ذيل را خواهيم داشت:








(رابطه‌ي 28)









(رابطه‌ي 29)









(رابطه‌ي 30)

رابطه‌ي 30 با شرط مندرج در رابطه‌ي 1 در تناقض است.

بنابراين رابطه‌ي ذيل برقرار خواهد بود:





(رابطه‌ي 31)

در نتيجه مقدار  از رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد:





(رابطه‌ي 32)

بنابراين استدلال به‌روش استقرا كامل خواهد شد.

لذا حداقل مقدار  از رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد:





(رابطه‌ي 33).

1387/3/2لينک مستقيم

فرستنده :
ناشناس HyperLink HyperLink 1387/3/20
مـتـن : قضیه ی گوس می گه جمع اعداد1تاn برابراست با:2/n*(n+1
پاسـخ :ايميل فرسنده: arianarabnooribeta@yahoo.com
تاريخ ارسال: 1387/3/19

دوست خوبم!
از اين‌كه چنين قضيه‌اي رو براي دوستات مطرح كردي ازت تشكر مي‌كنيم.
انشاءالله موفق باشي!

فرستنده :
nashenas HyperLink HyperLink 1387/3/20
مـتـن : fake the smile when coming up with fear !!!هه هه هه ... خب فکر نمیکنید سطح سوالات داره سنگین میشه !!! من مثگم یک دور دیگه سوالات رو از اول تکرار کنید و هر سوالی که جواب داده نشده رو بجوابین!
پاسـخ :ايميل فرستنده: Emad_2006new@yahoo.com
تاريخ ارسال: 1387/3/19


دوست خوبم!
ضمن تشكر از شما به‌خاطر ابراز نظراتت. از اين‌كه با ما و دوستانت ارتباط برقرار كردي تشكر مي‌كنيم.
سعي مي‌كنيم سطح سؤال‌ها رو مطابق با نظر شما تغيير بديم. ضمن اين‌كه در حالت كلي سطح سؤالات رو متنوع انتخاب مي‌كنيم.
اين‌كه برگرديم و سؤال‌هاي قبلي رو تكرار كنيم كار درستي به‌نظر نمي‌ياد. اگه الان بخوايم سؤال‌هاي قبل رو مطرح كنيم يه جور ديگه مطرح مي‌كنيم.
همه‌ي آدما بايد با گذشت زمان تغييرهاي مثبتي در اون‌ها به‌وجود بياد.
انتظار داريم شما دوست خوب هم تو مسابقه‌هاي فعال باشي تا با انگيزه‌ي بيش‌تري به طرح سؤال اقدام كنيم.
منتظر حضور فعالت هستيم!
انشاءالله موفق باشي!

فرستنده :
نوید HyperLink HyperLink 1387/3/14
مـتـن : حداقل مقدار زمانی ایجاد میشود که اولین جمله دنباله عدد یک باشد و

قدر نسبت نیز یک باشد.یعنی اگر مقدار جمله ی قبلی a باشد جمله ی

بعدی مقدارش a+1 باشد.

فکر کنم جواب 694.5 باشد‍‍.
پاسـخ :تاريخ ارسال: 1387/3/10

نويد جان!
از اين‌كه با شجاعت به ين سؤال جواب دادي جاي تشكر و تقدير دارد.
علاوه بر اون به‌خوب به اين سؤال پاسخ دادي و از اصطلاح‌ها نيز به‌نحوي احسن استفاده كردي.
دورد بر شما! بارك‌الله! فرين! مرحبا!
انشاءالله در تمام صحنه‌هاي زندگي آينده نيز اين‌چنين موفق باشي!

فرستنده :
نوید HyperLink HyperLink 1387/3/11
مـتـن : حداقل مقدار زمانی ایجاد میشود که اولین جمله دنباله عدد یک باشد و

قدر نسبت نیز یک باشد.یعنی اگر مقدار جمله ی قبلی a باشد جمله ی


بعدی مقدارش a+1 باشد.
پاسـخ :تاريخ ارسال: 1387/3/10

نويد جان!
از اين‌كه با شجاعت به اين سؤال جواب دادي تشكر مي‌كنيم.
با اين تعريفي كه از دنباله‌ي مورد نظر داشتي خوب مقدار An مربوط به اون رو هم پيدا كن!
منتظر جوابت هستيم!
انشاءالله موفق باشي!

فرستنده :
فرداد پوران HyperLink HyperLink 1387/3/11
مـتـن : با سلام و عرض خسته نباشید،
اگر دنباله اکیدا" صعودی باشد(البته مطمئن نیستم؛چون مطالب دوم دبیرستان به طور کامل نخوانده ام و ان شاﺀ الله سال بعد در این مقطع
تحصیل خواهم کرد.):
An=(a1/an)+(a2/an)+…(an/an)==>

1387
Min{An}=1/1387+…+1387/1387=(∑(i)/1387)End
i=1
پاسـخ :تاريخ ارسال: 1387/3/10
ايميل فرستنده: f_pouranme@yahoo.com

فرداد جان!
سلام
شما هم انشاءالله از انجام فعاليت‌هاي علمي چه در حال و چه در آينده خسته نباشي.
از اين‌كه شجاعت نشون دادي و سؤال‌هايي اين‌چنيني رو پاسخگو هستي جاي تقدير و تشكر داره.
همون‌طور كه مي‌دوني منظور از دنباله‌ي اكيداً صعودي، دنباله‌ايه كه جمله‌هاش غيرتكراري و در عين حال جمله‌ي بعدي بزرگ‌تر از جمله‌هاي قبليه و با اون‌ها برابر نيست.
از اين‌كه خيلي خوب اين جمل‌ها رو فرموله كردي و با وجود محدوديت ابزار تايپ اين‌قدر خوب ارائه كردي خيلي تشكر مي‌كنيم.
درورد بر شما! آفرين! مرحبا!
انشاءالله در تمام صحنه‌هاي زندگي همين‌جور خوب و موفق باشي!

فرستنده :
محمد حسن HyperLink HyperLink 1387/3/11
مـتـن : به صورت استقرایی عمل میکنیم.ما با ید مینیمم مقدار مجموع یک سری عدد را بیابیم.بدیهی است اگر هر کدام از اعداد کمترین مقدار خود را داشته باشند این مجموع کمینه است.بدیهی است که کمترین مقدار هر درایه(!)1 است ولی اگر si=1 باشدai+1<>1پس باید si+1=2باشد.پس ما به دو دنباله یs2k+1=1 و s2k=2یا s2k+1=2 وs2k=1می رسم ولی چون تعداد کل اعداد فرد است باید تعداد دو ها مینیمم شود پس دنباله ی اول مورد نظر ماست.پس an*1387=694+692*2
پاسـخ :صفحه‌ي شخصي فرستنده: www.olampyad-best.blogfa.com
تاريخ ارسال: 1387/3/10

محمد حسن جان!
از اين‌كه به‌خوبي و با تحليلي زيبا به سؤال ما پاسخ گفتي ازت تشكر مي‌كنيم.
بارك‌الله! مرحبا! آفرين! درود بر شما!
انشاءالله موفق باشي!

فرستنده :
ناشناس HyperLink HyperLink 1387/3/9
مـتـن : x1=1, x2=2,x3=1, ....., x1386=2,x1387=1
a1387=(((1386/2)*1)+1 + ((1386/2)*2))/1387=
=1+(693/1387) ~=1.5
و اگر اکیذاً صعودی باشد جواب همان 693 است ;)
پاسـخ :ايميل فرستنده: abinoctiz@yahoo.com
تاريخ ارسال: 1387/3/6

دوست خوبم!
از اين‌كه با رعايت همه‌ي فرضيات به سؤال به اين خوبي پاسخ دادي تشكر مي‌كنيم.
بارك‌الله! ماشاءالله! آفرين!
منتظر حضور فعالت در ساير مسابقه‌ها هم هستيم.
انشاءالله موفق باشي!


فرستنده :
MAHIN HyperLink HyperLink 1387/3/9
مـتـن : A1387=X1+X2 +...+X1387/1387
CHON N MOSHAKHAS AST DAR NATIJE X1=2, X2=4,...VA AGE EDAME BEDIM JAVABE X1387 BE DAST MIYAD
پاسـخ :ايميل فرستنده: MAHIN.200700@YAHOO.COM
تاريخ ارسال: 1387/3/8

مهين جان!
از اين‌كه شجاعانه به اين سؤال جواب دادي جاي تشكر و تقدير فراوان داره.
خيلي خوب به دنباله‌ي مورد نظر اشاره داشتي .. معلومه به فرضيات مسأله كاملاً دقت كردي.
از اين بابت هم ازت تشكر مي‌كنيم.
ولي دوست خوبم!
مقداري كه مورد نظر ماست رو فراموش كردي برامون بفرستي (همون An رو مي‌گم!)
بنابراين منتظر جوابت هستيم.
انشاءالله موفق باشي!

فرستنده :
ناشناس HyperLink HyperLink 1387/3/9
مـتـن : جواب برابر جمع اعداد1تا 1386بعلاوه ی 1386برروی 1387است که بنابرقاعده ی گوس برابر693+1387/1386است
پاسـخ :ايميل فرستنده: arianarabnooribeta@yahoo.com
تاريخ ارسال: 1387/3/9


دوست خوبم!
از اين‌كه با شجاعت به اين سؤال جواب دادي جاي تشكر و تقدير داره.
جوابت هم كاملاً صحيحه.
بارك‌الله! آفرين! ماشاءالله! درود بر شما!
ولي دوست خوبم دوست داريم در مورد «قاعده‌ي گوس» هم ما و دوستات رو مطلع كني.
منتظر جوابت هستيم.
انشاءالله موفق باشي!
انشاءالله موفق باشي!

فرستنده :
فرداد HyperLink HyperLink 1387/3/9
مـتـن : با سلام و احترام،
یعنی 1و2و1.2.1.2.1.2...1.2میگذاریم.


با سلام و احترام،
اثبات می کنیم که حدّاقل مقدار جمع دو عدد هنگامی است که دو عدد برابر باشند:x1+x2(x2>x1)=x1+(x1+k)=2x1+k>2x1Min=2x1 بنابراین:
همه ی (فرد)xها را x1 می گیریم و (زوج)xها را x2 می گیریم که تعداد اعداد زوج 694 و تعداد اعداد فرد 693است.(چون xk≠xk+1)
پس:
A1387=[(693x1+694x2)/1387]=[693(x1+x2)+x2]/1387
در نتیجه x2وx1+x2باید مینیمم باشند===>
x2=1و x1=2
x1+x2=3Min{A1387}=[(693*3+1)/1387]End
در ضمن آیا می توان پاسخ را به صورت تصویر ارسال کرد؟اگر بله چگونه؟
با سپاس فراوان


پاسـخ :ايميل فرستنده: f_pouranme@yahoo.com
تاريخ ارسال:‌ 1387/3/6

فرداد جان!
از استدلال خوبت تشكر مي‌كنيم.
جوابت هم كاملاً صحيحه.
بارك‌الله! آفرين و درود بر شما!

از اون‌جايي كه اين مسأله رو خوب حل كردي حالا به‌نظر شما در صورتي‌ كه دنباله‌ي ما «اكيداً صعودي» باشه جواب چه تغييري خواهد كرد.
منتظر جوابت هستيم.
انشاءالله موفق باشي!

فرستنده :
فرهاد HyperLink HyperLink 1387/3/6
مـتـن : 1387/693
با شرايط مساله دنباله مذكور عبارت است از:
0و1و.............0و1و0 و از آنجا :
A1387=0+1+......1+0/1387 , پس : A1387=693/1387 .///
/_ 1387بار__\
پاسـخ :ايميل فرستنده: ffffarhad@yahoo.com
تاريخ ارسال: 1387/3/4

دوست خوبم!
سلام
خيلي خوب به سؤال جواب دادي و همه‌ي ما از شما تشكر مي‌كنيم و حضور فعالت رو تو اين بخش گرامي مي‌داريم.
ولي دوست خوبم!
تو صورت مسأله، صحبت از اين شده كه جمله‌هاي عبارت مذكور همه عدد «صحيح» و «مثبت» هستند و بنابراين «صفر» رو شامل نمي‌شن.
غير از اون، هدف از اين سؤال اينه كه جواب مسأله رو به‌صورت تحليلي بيان بكني يعني براي يه حالت كلي اثبات كني.
مثلاً: يه مقدار حداقل (كمينه) براي براي An پيدا بكني و نشون بدي كه براي تمام دنباله‌ها، An مربوط به هر دنباله حتماً از اين مقدار بزرگ‌تره!
حالا منتظر جوابت هستيم.
انشاءالله موفق باشي!

فرستنده :
Muhammad Amin HyperLink HyperLink 1387/3/6
مـتـن : x1=1 ,x2=2,x3=1,x4=2,...,x1387=1 then
A1387min=((693)2+694)/1387
پاسـخ :محمد امين جان!
سلام
از جواب خيلي خوبت تشكر مي‌كنيم.
دوست خوبم
بارك‌الله!‌ آفرين! درود بر شما!

اما دوست خوبم!
مي‌خوايم حالا كه به اين سؤال خوب جواب دادي ازت يه خواهش بكنيم. جوابي كه براي ما و دوستات فرستادي خيلي عاليه ولي يه مثاله.
هدف از اين سؤال اينه كه جواب مسأله رو به‌صورت تحليلي بيان بكني يعني براي يه حالت كلي اثبات كني.
مثلاً: يه مقدار حداقل (كمينه) براي براي An پيدا بكن و نشون بده كه براي تمام دنباله‌ها، An مربوط به هر دنباله حتماً از اين مقدار بزرگ‌تره!
منتظر جوابت هستيم.
انشاءالله موفق باشي!

فرستنده :
ناشناس HyperLink HyperLink 1387/3/6
مـتـن : 693
پاسـخ :ايميل فرستنده: abinoctiz@yahoo.com
تاريخ ارسال: 1387/3/5

دوست خوبم!
از اين‌كه با شجاعت جواب اين سؤال رو مطرح كردي ازت تشكر مي‌كنيم.
ما و دوستانت رو از چگونگي به‌دست اوردن جواب مطلع كن!
در اين صورت ممكنه جواب ديگه‌اي به‌دست بياري!
ولي جوابت خيلي به جواب نهايي نزديكه!
منتظر جوابت هستيم.

نظر شما پس از تاييد در سايت قرار داده خواهد شد
نام :
پست الکترونيکي :
صفحه شخصي :
نظر:
تاییدانصراف
 
 المپياد رياضي

 

     

 

 

صفحه‌ي اصلي

     

 

راهنماي سايت

     

 

 

آموزش

     

 

بانك سوال

     

 

 

مسابقه

     

 

 

زنگ تفريح

     

 

 

مصاحبه و گزارش

     

 

 

معرفي كتاب

     

 

 

مشاوره

     

 

 

پرسش‌و‌پاسخ‌علمي

     

 

اخبار

     

 

فعاليت‌هاي علمي

 بازديدها
كاربران غيرعضو آنلاينكاربران غيرعضو آنلاين:  3911
 كاربران عضو آنلاين:  0
  کل كاربران آنلاين:  3911