مسابقه‌ی تصادفی

 مسابقه‌های پربازدید
 
 آرشيو
 اعداد و دايره (مسابقه‌ي شماره‌ي 77)
اعداد و دايره (مسابقه‌ي شماره‌ي 77)مسابقه رياضي
نظريه‌ي هندسي اعداد ... سؤال همراه با جواب

اعداد و دايره







اشاره
آن‌چه با عنوان «چكيده» در اول مسابقه‌ها و زنگ‌تفريح‌ها مشاهده مي‌كنيد صرفاً مخصوص معلمان، مربيان، كارشناسان محترم آموزشي و ساير علاقه‌مندان است.


چكيده.
اهداف آموزشي
 اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي – دانش
    - «دانش راه‌ها و وسايل برخورد با امور جزوي» > «دانش روش‌ها و روش‌شناسي»
اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي - توانايي‌ها و مهارت‌هاي ذهني
    
- «فهميدن» > «ترجمه» > «تفسير»
    
- «فهميدن» > «ترجمه» > «كاربستن»
    
- «فهميدن» > «ترجمه» > «تحليل» > «تحليل روابط»
    
- «فهميدن» > «ترجمه» > «تركيب» > «توليد يك نقشه يا مجموعه‌ اقدام‌هاي پيشنهادي»
    
- «فهميدن» > «ترجمه» > «تركيب» > «استنتاج مجموعه‌اي از روابط انتزاعي»
 نتايج مورد نظر 
    
- آشنايي با نظريه‌ي اعداد
    
- روش حل مسأله با استفاده از نظريه‌ي اعداد و هندسه
 محتواي آموزشي
    
- نظريه‌ي اعداد و هندسه




سؤال

براي هر عدد گوياي  - كه در آن  و  «نسبت به هم اول» هستند – دايره‌اي به‌مركز  و قطر  رسم كنيد. هم‌چنين دايره‌هايي به‌مركز  و  با قطر 1 بكشيد.

- ثابت كنيد هر دو دايره حداكثر در يك نقطه همديگر را قطع مي‌كنند.

- ثابت كنيد سطح كلي همه‌ي دايره‌ها از رابطه‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد:









(رابطه‌ي 1)




راهنمايي

قسمت الف ممكن است با مقايسه‌ي فاصله بين مراكز دو دايره نسبت به جمع شعاع‌هاي‌شان حل شود.

قسمت ب ممكن است با بيان همان جمع با دو روش مختلف حل شود:

- يك روش استفاده از دايره‌ها در مسأله است.

- و ديگر روش استفاده از جمع‌هاي ذيل است:



و









جواب
قسمت الف
فرض كنيد  و  اعداد صحيح غيرمنفي باشند به‌گونه‌اي كه رابطه‌ي ذيل برقرار باشد:




(رابطه‌ي 2)

هم‌چنين «تركيب فصلي» ذيل را داشته باشيم:

- يا  يا  نسبت به هم «اول» هستند

- يا رابطه‌ي ذيل برقرار است:




(رابطه‌ي 3)

براي همه‌ي مقادير ممكن  و ، دايره‌اي به‌مركز  و قطر  رسم مي‌كنيم. مجموعه‌ي دايره‌ها همان خواهد بود كه در مسأله توصيف شده است.





ياداوري
متغيرهاي  و هم‌چنين  و  مشخص‌كننده‌ي دايره‌هايي به‌مركز به‌ترتيب  و و قطر 1 است.



دو دايره‌ي متمايز از مجموعه‌ي دايره‌ها انتخاب كنيد. فرض كنيد يكي داراي مركز  و قطر  باشد و ديگري داراي مركز  و قطر . از آن‌جايي كه براي هر دايره، شعاع برابر با مؤلفه‌ي  از مركز دايره‌ي مذكور است هر دو دايره بر محور ها مماس بوده در بالاي آن قرار خواهند داشت. بنابراين يك دايره نمي‌تواند داخل دايره‌اي ديگر باشد. محور  مركز هر دايره همان محور تقاطع دايره و محور ها است.

از آن‌جايي كه دايره‌ها در نقاط مختلف بر محور ها مماس هستند به‌طور واضح نمي‌توانند به‌صورت داخلي بر يكديگر مماس باشند. بنابراين وضعيت‌هايي نظير ذيل را خواهيم داشت:

الف – دو دايره خارج يكديگر بوده و هيچ نقطه‌ي اشتراكي ندارند.
ب – دو دايره از خارج به يكديگر مماس بوده و هيچ نقطه‌ي اشتراكي ندارند.
ج – دو دايره دقيقاً داراي دو نقطه‌ي اشتراك هستند.

فرض كنيد  فاصله‌ي بين مراكز دو دايره هم‌چنين  جمع شعاع‌هاي اين دو دايره باشد:

در حالت الف رابطه‌ي ذيل برقرار خواهد بود:




(رابطه‌ي 4)

در حالت ب رابطه‌ي ذيل برقرار خواهد بود:




(رابطه‌ي 5)

در حالت ج رابطه‌ي ذيل برقرار خواهد بود:




(رابطه‌ي 6)

فاصله‌ي بين مراكز دو دايره از رابطه‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد:






(رابطه‌ي 7)

جمع شعاع‌هاي دو دايره از رابطه‌ي ذيل به‌ست خواهد آمد:




(رابطه‌ي 8)

بنابراين رابطه‌هاي ذيل برقرار خواهد بود:

















(رابطه‌ي 9)

بنابراين ، ،  و  هم‌چنين  اعداد صحيح هستند. هم‌چنين فرض مي‌كنيم رابطه‌‌هاي ذيل برقرار باشد:




(رابطه‌ي 10)




(رابطه‌ي 11)

اما از آن‌جايي كه  و  اعداد گوياي مجزايي باشند بنابراين رابطه‌ي ذيل برقرار خواهد بود:




(رابطه‌ي 12)

 از آن‌جايي كه  عدد صحيح غيرصفري محسوب نمي‌شود رابطه‌هاي ذيل برقرار خواهد بود:




(رابطه‌ي 13)

هم‌چنين رابطه‌‌ي ذيل برقرار خواهد بود:




(رابطه‌‌ي 14)

كه بدين‌معنا است:




(رابطه‌ي 15)

از آن‌جايي كه و  «مثبت» هستند رابطه‌ي ذيل برقرار خواهد بود:




(رابطه‌ي 16)

بنابراين دايره‌ها نمي‌توانند در دو نقطه با يكديگر تلاقي داشته باشند؛ به‌علاوه  مي‌تواند با  برابر باشد. به‌عنوان مثال زماني كه رابطه‌هاي ، ،  و  و ). بنابراين دو دايره مي‌تواند در حداكثر يك نقطه تلاقي داشته باشند.





قسمت ب
تمام زوج‌هاي اعداد صحيح غيرمنفي  و  را در نظر مي‌گيريم كه رابطه‌هاي ذيل برقرار باشد:




(رابطه‌ي 17)




(رابطه‌ي 18)

جمع چنين زوج‌هاي  از  از رابطه‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد:






(رابطه‌ي 19)

بايد توجه داشته باشيم كه زوج  منحصراً مي‌تواند به‌شكل  نوشته شود كه در آن عددي صحيح و مثبت بوده و  زوجي از اعداد صحيح از نوع توصيف شده در قسمت الف است. بدين‌ترتيب ممكن است جمع همه‌ي اين زوج‌هاي  از  را به‌عنوان جمع همه‌ي سه‌تايي‌هاي  از  بنويسيم. به بياني ديگر رابطه‌هاي ذيل برقرار خواهد بود:





ياداوري
توجه كنيد كه سري‌هاي ذيل مطلقاً «همگرا» هستند.













(رابطه‌ي 20)

بنابراين رابطه‌ي ذيل را به‌دست خواهيم آورد:






















(رابطه‌‌ي 21)

با ضرب دو طرف اين رابطه در  رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد:









(رابطه‌ي 22)

طرف چپ رابطه‌ي 22 جمع چنين زوج‌هاي  از سطح يك دايره با قطر است.

در اين‌جا سطح كل همه‌ي دايره‌ها از رابطه‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد:








(رابطه‌ي 23)

1387/3/12لينک مستقيم

فرستنده :
احمد HyperLink HyperLink 1387/3/22
مـتـن : به نظر من سطح المپیاد جهانی بهتره
بعد طراح این سوال ها کیه؟
پاسـخ :احمد جان!
سلام
از شما به‌خاطر ابراز نظرت تشكر مي‌كنيم.
اگر بعضي سؤال‌ها رو مدنظر قرار بديد اون‌ها رو در سطح المپياد جهاني مي‌يابيد.
ولي دوست خوبم!
اون‌وقت بايد تو جوابش هم مشاركت بكنيد تا ما احساس كنيم همراه ما هستيد.
از اين‌كه با ما ارتباط برقرار كردي تشكر مي‌كنيم.
انشائالله موفق باشي!

فرستنده :
nashenas HyperLink HyperLink 1387/3/21
مـتـن : سوالاتون داره یک خورده به جای نکات جالب و ریبا و پیچیده ریاضی جاش رو به معلومات اثیاتی میده که خیلی هم خویه ولی همون قیلنا یهتر بود
پاسـخ :ايميل فرستنده: emad_2006new@yahoo.com
تاريخ ارسال: 1387/3/19


دوست خوبم!
سلام
از اين‌كه با ما تماس گرفتي و نظر زيباي شما رو مي‌شنويم ازت تشكر مي‌كنيم.
ما هم با شما موافقيم ... شايد جالب و پيچيده بود سؤال‌ها بهتر از اثباتي بودن اون‌ها باشه ... سعي مي‌كنيم نظر شما دوست گرامي رو اجرايي بكنيم.
انشاءالله موفق باشي!

فرستنده :
احمد HyperLink HyperLink 1387/3/21
مـتـن : من یه نظر دارم اینکه سوالاتون رو از نظر دشواری در یک حد نگه دارید..مثلا دفعه ی قبل خیلی آسون بود این دفعه متوسطه بعضی وقتا هم که ....
پاسـخ :احمد جان!
سلام
از اين‌كه نظرت رو در مورد اين بخش با ما در ميون گذاشتي تشكر مي‌كنيم.
اما احمد جان!
اگر بخوايم اين‌كار رو بكنيم به‌نظرت سؤالات در حد مرحله‌ي اول المپياد كشوري باشه يا المپياد جهاني يا ...
به هر حال همين‌كه با ما تماس گرفتي و در مورد سطح سؤال‌ها ما رو راهنمايي كردي ازت خيلي ممنونيم.
منتظر حضور فعالت تو اين بخش هستيم.
انشاءالله موفق باشي!

نظر شما پس از تاييد در سايت قرار داده خواهد شد
نام :
پست الکترونيکي :
صفحه شخصي :
نظر:
تاییدانصراف
 
 المپياد رياضي

 

     

 

 

صفحه‌ي اصلي

     

 

راهنماي سايت

     

 

 

آموزش

     

 

بانك سوال

     

 

 

مسابقه

     

 

 

زنگ تفريح

     

 

 

مصاحبه و گزارش

     

 

 

معرفي كتاب

     

 

 

مشاوره

     

 

 

پرسش‌و‌پاسخ‌علمي

     

 

اخبار

     

 

فعاليت‌هاي علمي

 بازديدها
كاربران غيرعضو آنلاينكاربران غيرعضو آنلاين:  4436
 كاربران عضو آنلاين:  0
  کل كاربران آنلاين:  4436