مسابقه‌ی تصادفی

 مسابقه‌های پربازدید
 
 آرشيو
 چندجمله‌اي و مساحت (مسابقه‌ي شماره‌ي 78)
چندجمله‌اي و مساحت (مسابقه‌ي شماره‌ي 78)مسابقه رياضي
اعداد مختلط ... سؤال همراه با جواب

چندجمله‌اي و مساحت





اشاره
آن‌چه با عنوان «چكيده» در اول مسابقه‌ها و زنگ‌تفريح‌ها مشاهده مي‌كنيد صرفاً مخصوص معلمان، مربيان، كارشناسان محترم آموزشي و ساير علاقه‌مندان است.





چكيده
اهداف آموزشي
 اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي – دانش
    
- «دانش راه‌ها و وسايل برخورد با امور جزوي» > «دانش روش‌ها و روش‌شناسي»
 
اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي - توانايي‌ها و مهارت‌هاي ذهني
    
- «فهميدن» > «ترجمه» > «تفسير»
    
- «فهميدن» > «ترجمه» > «درون‌يابي»
    
- «فهميدن» > «ترجمه» > «كاربستن»
    
- «فهميدن» > «ترجمه» > «تحليل» > «تحليل روابط»
    
- «فهميدن» > «ترجمه» > «تركيب» > «توليد يك نقشه يا مجموعه‌ اقدام‌هاي پيشنهادي»
    
- «فهميدن» > «ترجمه» > «تركيب» > «استنتاج مجموعه‌اي از روابط انتزاعي»
 
نتايج مورد نظر 
    
- آشنايي با چندجمله‌اي
    - آشنايي با مساحت چندضلعي‌ها
    
- روش حل مسأله با استفاده از چندجمله‌اي‌ها و هندسه‌ي اعداد
 
محتواي آموزشي
    
- چندجمله‌اي‌ها
    - نظريه‌ي هندسي اعداد.






«گيرولامو كاردانو»
(Girlamo Cardano)





مقدمه

بعضي كشف اعداد «مختلط» (Complex) را به رياضيدان ايتاليايي «گيرولامو كاردانو» (Girlamo Cardano) منتسب مي‌كنند. وي تلاش مي‌كرد جواب «معادله‌ها از درجه‌ي 3» (Cubic Equations) را بيابد. اين معادله‌ها بعضاً منجر به محاسبه‌هاي ريشه‌هاي دوم اعداد «منفي» مي‌شد.

وي براي اين‌منظور از «جزو موهومي» استفاده كرده آن را بدين‌شكل تعريف نمود:





(رابطه‌ي 1)

يك عدد «مختلط» عموماً به‌شكل ذيل نوشته مي‌شود:




(رابطه‌‌ي 2)

در اين صورت  بخش «حقيقي» و  بخش «موهومي» عدد «مختلط» مذكور ناميده مي‌شود.

قواعد جمع و ضرب اعداد مختلط به رياضيدان ديگر ايتاليايي «رافائل بومبلي» (Rafael Bombelli) منتسب شده است.

براي اطلاعات بيش‌تر مي‌توانيد به لينك‌هاي ذيل در دانشنامه‌ي رشد مراجعه فرماييد:

- صفحه‌ي مختلط

- اعداد مختلط.





«رافائل بومبلي»
(Rafael Bombelli)




سؤال

فرض كنيد  عددي حقيقي و غيرصفر باشد. معادله‌ي ذيل را در نظر بگيريد:







(رابطه‌ي 1)

نمودار مقادير متغير  را كه در رابطه‌ي 1 صدق كند در صفحه‌ي مختلط در نظر بگيريد (صفحه‌ي «مختلط» صفحه‌اي از اعداد موهومي است كه بخش حقيقي هر عدد بر روي محور ها و بخش موهومي آن بر روي محور ها قرار گرفته است) .

اگر نمودار مقادير متغير  در اين صفحه، چهارضلعي محدبي تشكيل دهند به‌عبارت ديگر رؤوس چهارضلعي، ريشه‌هاي  در رابطه‌ي 1 باشند مساحت چهارضلعي را به‌دست آورده و ثابت كنيد مستقل از متغير  است.




راهنمايي

ممكن است دانش‌اموزان بسياري به‌علت ظاهر پيچيده‌ي «معادله‌ از درجه‌ي 4» و محيط «صفحه‌ي مختلط» كمي بترسند.

ولي بايد بدانند اولين مرحله پيدا كردن ضرايب معادله از درجه‌ي 4 است. اين اصلي‌ترين كار محسوب شده كه مي‌توانيد با شيوه‌هاي متفاوتي به‌دست آوريد.

مرحله‌ي بعد رسم نمودار ريشه‌ها در «صفحه‌ي مختلط» است كه يك «ذوزنقه» تشكيل مي‌دهد.




جواب
راه‌حل 1

ضريب ثابت رابطه‌ي 1 مي‌تواند به‌گونه‌اي فاكتور گرفته شود كه به‌صورت رابطه‌ي ذيل درايد:





(رابطه‌ي 4)

با فاكتورگيري مي‌توان ريشه‌هاي رابطه‌ي 2 را به‌عنوان تابعي از به‌دست آورد. از آن‌چه تاكنون داشته‌ايم مي‌توانيم ببيينم كه ضرايب رابطه‌ي 2 ممكن است شبيه ذيل باشد:




رابطه‌ي داده شده در اين مرحله داراي توان‌هاي ،  و  است. اجازه مي‌دهيم ضرايب مذكور به‌شكل ذيل به‌دست آيند:






با بسط آن رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد:






(رابطه‌ي 5)

با مقايسه‌ي رابطه‌ي 3 با معادله‌ي داده شده (رابطه‌ي 1)، متوجه مي‌شويم هيچ عبارت  وجود نخواهد داشت؛ بنابراين رابطه‌هاي ذيل را خواهيم داشت:

-
- از عبارت  خواهيم داشت:





(رابطه‌‌ي 6)


با استفاده از اين روابط مي‌توانيم تركيب فصلي روابط ذيل را مشاهده كنيم:

-

(رابطه‌ي 7)

 

-

(رابطه‌ي 8)


اما سپس با آزمايش عبارت  مشاهده خواهيم كرد كه  بايد  باشد بنابراين رابطه‌ي ذيل برقرار خواهد بود:





(رابطه‌ي 9)

با فاكتورگيري از رابطه‌ي 3 رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد:





(رابطه‌ي 10)

اكنون مي‌توانيم از فرمول درجه‌ي چهار براي هر يك از ضرايب درجه‌ي 4 استفاده كنيم كه در اين صورت چهار ريشه به‌دست خواهد آمد:

و

با رسم نقاط  يك ذوزنقه با با دو قاعده به‌طول  و  و  ارتفاع به‌دست خواهد آمد. از آن‌جايي كه مساحت «ذوزنقه» از رابطه‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد خواهيم داشت:









(رابطه‌ي 11)

رابطه‌ي 9 نشان‌دهنده‌ي آن است كه مساحت «ذوزنقه» به متغير  بستگي نداشته و برابر با 8 است.


 

راه‌حل 2
بيان داده شده مي‌تواند به‌صورت دو مربع نوشته و فاكتور گرفته شود:

















(رابطه‌ي 12)

بنابراين ريشه‌هاي معادله‌ي اصلي (رابطه‌ي 1) تركيبي از ريشه‌هاي  و  است. هر كدام از و  رابطه‌اي از درجه‌ي 2 با ضرايب حقيقي هستند. رابطه از درجه‌ي 2 مربوط به  و  به‌ترتيب منجر به  و  مي‌شوند. از آن‌جايي كه متغير  عددي حقيقي و غيرصفر است هر دو عبارت  و  «منفي» خواهند بود بنابراين ريشه‌هاي  و  اصطلاحاً تشكيل «زوج‌هاي قرينه» مي‌دهند.

با استفاده از فرمول درجه‌ي 2 مي‌توانيم ريشه‌هاي  و  را به‌ترتيب براي  و  به‌دست آوريم. اين دو ريشه و قرينه‌هاي آن‌ها يك «ذوزنقه‌ي متساوي‌الساقين» با محور حقيقي به‌عنوان محور تقارن مي‌دهند.

مساحت چنين ذوزنقه‌اي (جواب مورد انتظار مسأله) برابر است با حاصل‌ضرب جمع نصف قاعده‌ها در ارتفاع آن:











(رابطه‌ي 13)

در رابطه‌ي 11،  و  به‌ترتيب مشخص‌كننده‌ي بخش‌هاي «حقيقي» و «موهومي» عدد مختلط  محسوب مي‌شوند.


 

راه‌حل 3
از رابطه‌ي 1 مي‌توانيم روابط ذيل را به‌دست آوريم:

















(رابطه‌ي 14)

بنابراين رابطه‌ي ذيل برقرار است:






(رابطه‌ي 15)

با استفاده از ريشه‌ي درجه‌ي دوم دو رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد:







(رابطه‌ي 16)

و







(رابطه‌ي 17)

با اعمال فرمول درجه‌ي دوم براي رابطه‌ي 14، ريشه‌هاي ذيل به‌دست خواهد آمد:



و




با اعمال فرمول درجه‌ي دوم براي رابطه‌ي 15، ريشه‌هاي ذيل به‌دست خواهد آمد:




و




اين چهار «عدد مختلط» تشكيل يك «ذوزنقه» با ارتفاع  و قاعده‌ها به‌طول  و  مي‌دهد. بنابراين مي‌توان مساحت آن را از رابطه‌ي ذيل به‌دست آورد:





(رابطه‌ي 18).

1387/3/23لينک مستقيم

فرستنده :
بابك HyperLink HyperLink 1387/5/29
مـتـن : سلام. دستتون درد نكنه جالب بود .
پاسـخ :ايميل فرستنده: babakhoo@yahoo.com
تاريخ ارسال: 1387/5/14

بابك جان!
از اظهار لطفت تشكر مي‌كنيم.
ضمن اين‌كه خيلي دوست داريم شما هم در مسابقه‌ها حضوري فعال داشته باشي!
انشاءالله موفق باشي!

فرستنده :
ناشناس HyperLink HyperLink 1387/3/30
مـتـن : verywell
پاسـخ :تاريخ ارسال: 1387/3/26

دوست خوبم!
از اظهار لطفت تشكر مي‌كنيم.
انشاءالله موفق باشي!

فرستنده :
ناشناس HyperLink HyperLink 1387/3/26
مـتـن : verywell
پاسـخ :دوست خوبم!
از اظهار لطفت تشكر مي‌كنيم.
انشاءالله موفق باشي!

فرستنده :
بهنام HyperLink HyperLink 1387/3/26
مـتـن : من زیاد باهوش نیستم و استعداد خوبی هم ندارم. تو رو خدا یه سوالی
طرح کنید تا حداقل بفهمیم چی میگه.
پاسـخ :بهنام جان!
ضمن تشكر از شما
ببخشيد اگر متن سؤال كمي پيچيده به‌نظر مي‌رسد.
البته ما هم متوجه نشديم كه كدام بخش سؤال براي شما احيانا ابهام دارد.
براي راهنمايي اين‌جوري مي‌تونيم توضيح بديم:
معادله‌ي 1 نسبت به متغير z از درجه‌ي 4 است. بنابراين طبق قضيه‌ي «اساسي جبر» معادله داراي 4 جواب براي z است. از آن‌جايي كه z متغيري موهومي است داراي دو بخش «حقيقي» و «موهومي» نيز مي‌باشد. بنابراين چهار نقطه براي z در صفحه‌ي مختلط به‌دست مي‌آيد.
اگر چهار نقطه را به هم وصل كنيم يك «ذوزنقه» حاصل خواهد شد.

سؤال، مساحت اين چهارضلعي را خواست است.

اميدوارم از اين توضيح طولاني اذيت نشده باشي!

انشاءالله موفق باشي!

نظر شما پس از تاييد در سايت قرار داده خواهد شد
نام :
پست الکترونيکي :
صفحه شخصي :
نظر:
تاییدانصراف
 
 المپياد رياضي

 

     

 

 

صفحه‌ي اصلي

     

 

راهنماي سايت

     

 

 

آموزش

     

 

بانك سوال

     

 

 

مسابقه

     

 

 

زنگ تفريح

     

 

 

مصاحبه و گزارش

     

 

 

معرفي كتاب

     

 

 

مشاوره

     

 

 

پرسش‌و‌پاسخ‌علمي

     

 

اخبار

     

 

فعاليت‌هاي علمي

 بازديدها
كاربران غيرعضو آنلاينكاربران غيرعضو آنلاين:  3891
 كاربران عضو آنلاين:  0
  کل كاربران آنلاين:  3891