مسابقه‌ی تصادفی

 مسابقه‌های پربازدید
 
 آرشيو
 مثلث متساوي‌الاضلاع (مسابقه‌ي شماره‌ي 79)
مثلث متساوي‌الاضلاع (مسابقه‌ي شماره‌ي 79)مسابقه رياضي
احتمال ... سؤال همراه با جواب

مثلث متساوي‌الاضلاع







اشاره
آن‌چه با عنوان «چكيده» در اول مسابقه‌ها و زنگ‌تفريح‌ها مشاهده مي‌كنيد صرفاً مخصوص معلمان، مربيان، كارشناسان محترم آموزشي و ساير علاقه‌مندان است.



چكيده
اهداف آموزشي
 اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي – دانش
    - «دانش راه‌ها و وسايل برخورد با امور جزوي» > «دانش روش‌ها و روش‌شناسي»
 اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي - توانايي‌ها و مهارت‌هاي ذهني
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «تفسير»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «كاربستن»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «تركيب» > «توليد يك نقشه يا مجموعه‌ اقدام‌هاي پيشنهادي»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «تركيب» > «استنتاج مجموعه‌اي از روابط انتزاعي»
 نتايج مورد نظر 
    - آشنايي با احتمال
 محتواي آموزشي
    - احتمال




مقدمه

اصطلاح «اميد رياضي» (Expected Value) در «نظريه‌ي احتمال» (Probability Theory) كاربرد زيادي داشته و در مورد يك متغير گسسته‌ي تصادفي به‌كار مي‌رود و عبارت است از مجموع حاصل‌ضرب‌هاي هر نتيجه‌ي ممكن در مقدار نتيجه‌ي مذكور.

به‌عنوان مثال:
«اميد رياضي» (Expected Value) ظاهر شدن يك عدد در يك تاس شش‌وجهي از رابطه‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد:






سؤال

يك مثلث متساوي‌الاضلاع با  مثلث متساوي‌الاضلاع متجانس و كوچك‌تر به‌گونه‌اي كاشي‌كاري مي‌شود كه در طول هر ضلع  مثلث متساوي‌الاضلاع كوچك‌تر وجود داشته باشد (شكل 1).

براي هر يك از مثلث‌هاي متساوي‌الاضلاع كوچك به‌طور تصادفي يك رأس  از آن مثلث‌ها را انتخاب مي‌كنيم و به‌مركزيت آن رأس يك كمان رسم مي‌كنيم به‌طوري كه نقطه‌هاي مياني دو ضلع به كمك اين كمان به‌يك‌ديگر وصل شوند.

اميد رياضي Expected Value تعداد دايره‌هاي تشكيل شده را به‌دست آوريد.




راهنمايي

تلاش براي شمارش تعداد حالت‌هايي كه دايره‌ها پديدار مي‌شوند خيلي پيچيده به‌نظر مي‌رسد زيرا اين حالت‌ها مستقل نيستند. به‌عبارت ديگر اين‌كه دايره‌اي به‌مركز يك رأس ايجاد شود بر تشكيل دايره در رؤوس مجاور مؤثر است. 

يك ويژگي‌ي مهم اميد رياضي اين است كه اميد رياضي مجموع برابر است با مجموع اميد رياضي‌ها. به مسئله خوب فكر كنيد. آسان‌تر از آن چيزي است كه نشان مي‌دهد!   




جواب

رأسي را در مثلثي در نظر بگيريد كه داراي شش مثلث كوچك در اطراف آن است. هريك از چنين مثلث‌هايي داراي يك‌سوم احتمال مربوط به كمان مربوطه از دايره به‌مركزيت آن رأس است. بنابراين احتمال اين‌كه آن رأس داراي دايره‌اي كامل در اطرافش باشد از رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد:




براي به‌دست آوردن مقدار «اميد رياضي» (Expected Value) تعداد دايره‌هاي كامل به‌سادگي نياز به ضرب اين احتمال در تعداد رؤوسي دارد كه مي‌تواند داراي دايره‌هاي كامل در اطرافش باشد. اگر مثلث اصلي به  مثلث كوچك‌تر تقسيم شود پس تعداد چنين رؤوسي از رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد:




(رابطه‌ي 1)

بنابراين مقدار مورد انتظار «اميد رياضي» (Expected Value) از رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد:







(رابطه‌ي 2)

1387/4/11لينک مستقيم

فرستنده :
ناشناس HyperLink HyperLink 1387/4/25
مـتـن : 346
پاسـخ :تاريخ ارسال: 1387/4/22

دوست خوبم!
از اين‌كه با شجاعت به سؤال پاسخ دادي ازت تشكر مي‌كنيم. راجع به علت جوابت هم براي اطلاع دوستات توضيح بده.
اگرچه جواب سؤال مشخص شده ولي منتظر جوابت هستيم.
چون هدف از طرح اين سؤال‌ها اينه كه مخاطبين خودشون را با چنين سؤال‌هايي درگير كنن و اين‌كه حتماً راه‌حل‌شون درست باشه اهميتي نداره.
از اين‌كه باتأخير به سؤالت پاسخ گفتم عذرخواهي مي‌كنيم.
منتظر حضور فعالت تو اين بخش هستيم.
انشاءاله موفق باشي!

نظر شما پس از تاييد در سايت قرار داده خواهد شد
نام :
پست الکترونيکي :
صفحه شخصي :
نظر:
تاییدانصراف
 
 المپياد رياضي

 

     

 

 

صفحه‌ي اصلي

     

 

راهنماي سايت

     

 

 

آموزش

     

 

بانك سوال

     

 

 

مسابقه

     

 

 

زنگ تفريح

     

 

 

مصاحبه و گزارش

     

 

 

معرفي كتاب

     

 

 

مشاوره

     

 

 

پرسش‌و‌پاسخ‌علمي

     

 

اخبار

     

 

فعاليت‌هاي علمي

 بازديدها
كاربران غيرعضو آنلاينكاربران غيرعضو آنلاين:  4208
 كاربران عضو آنلاين:  0
  کل كاربران آنلاين:  4208