مسابقه‌ی تصادفی

 مسابقه‌های پربازدید
 
 آرشيو
 هفت‌ضلعي منتظم (مسابقه‌ي شماره‌ي 83)
هفت‌ضلعي منتظم (مسابقه‌ي شماره‌ي 83)مسابقه رياضي
اعداد مختلط در هندسه

هفت‌ضلعي منتظم





اشاره
آن‌چه با عنوان «چكيده» در اول مسابقه‌ها و زنگ‌تفريح‌ها مشاهده مي‌كنيد صرفاً مخصوص معلمان، مربيان، كارشناسان محترم آموزشي و ساير علاقه‌مندان است.



چكيده
اهداف آموزشي
اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي – دانش
    - «دانش راه‌ها و وسايل برخورد با امور جزوي» > «دانش روش‌ها و روش‌شناسي»
اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي - توانايي‌ها و مهارت‌هاي ذهني
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «تفسير»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «كاربستن»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «تركيب» > «توليد يك نقشه يا مجموعه‌ اقدام‌هاي پيشنهادي»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «تركيب» > «استنتاج مجموعه‌اي از روابط انتزاعي»
نتايج مورد نظر 
    - آشنايي با اعداد مختلط و خواص آن
    - آشنايي با حل مسائل هندسي با استفاده از اعداد مختلط
محتواي آموزشي
    - نظريه‌ي اعداد 
    - هندسه.




سؤال
اول - فرض كنيد  يك هفت‌ضلعي منتظم باشد. ثابت كنيد رابطه‌ي ذيل همواره برقرار است:





(رابطه‌ي 1)




دوم –
فرض كنيد  يك پانزده‌‌ضلعي منتظم باشد. ثابت كنيد رابطه‌ي ذيل همواره برقرار است:





(رابطه‌ي 2)




سوم –
فرض كنيد  يك ‌‌ضلعي منتظم محاط در يك دايره به‌شعاع  باشد. ثابت كنيد براي هر نقطه‌ي  و هر عدد طبيعي  رابطه‌ي ذيل همواره برقرار است:





(رابطه‌ي 3)

ياداوري – پاسخ‌گويي به قسمت دوم و سوم سؤال كاملاً اختياري است.



راهنمايي
الف - عدد مختلط
بعضي كشف اعداد «مختلط» (Complex) را به رياضيدان ايتاليايي «گيرولامو كاردانو» (Girlamo Cardano) منتسب مي‌كنند. وي تلاش مي‌كرد جواب «معادله‌ها از درجه‌ي 3» (Cubic Equations) را بيابد. اين معادله‌ها بعضاً منجر به محاسبه‌هاي ريشه‌هاي دوم اعداد «منفي» مي‌شد.

وي براي اين‌منظور از «جزو موهومي» (Imaginary Unit) استفاده كرده بدين‌شكل آن را تعريف نمود:





(رابطه‌ي 4)

يك عدد «مختلط» عموماً به‌شكل ذيل نوشته مي‌شوند:






(رابطه‌‌ي 5)

در اين صورت بخش «حقيقي» و بخش «موهومي» عدد «مختلط» مذكور ناميده مي‌شود.

ياداوري - براي توضيح بيش‌تر به‌نشاني ذيل مراجعه فرماييد:
(
المپياد رياضي > آموزش > هندسه‌ي اعداد مختلطاعداد مختلط)




ب - مزدوج عدد مختلط
اگر  عددي مختلط نظير ذيل باشد:






(رابطه‌‌ي 6)

 را «مزدوج» (Conjugate) آن مي‌گويند و از رابطه‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد:






(رابطه‌ي 7)

ياداوري - براي توضيح بيش‌تر به‌نشاني ذيل مراجعه فرماييد:
(المپياد رياضي > آموزش > هندسه‌ي اعداد مختلط > اعداد مختلط > zبار)




قضايايي از اعداد مختلط
ج – قضيه‌ي خطوط موازي، عمود بر هم و متقاطع
سه‌نقطه‌ي ،  و  را در نظر بگيريد؛ براي اين سه نقطه چهار حالت متصور است:

- شرط لازم و كافي براي اين‌كه  آن است كه رابطه‌ي ذيل برقرار باشد:






(رابطه‌ي 8)

ياداوري - براي توضيح بيش‌تر به‌نشاني ذيل مراجعه فرماييد:
(المپياد رياضي > آموزش > هندسه‌ي اعداد مختلط > عنصرهاي اساسي هندسه > توازي)

- شرط لازم و كافي براي آن‌كه  آن است كه رابطه‌ي ذيل برقرار باشد:






(رابطه‌ي 9)

ياداوري - براي توضيح بيش‌تر به‌نشاني ذيل مراجعه فرماييد:
(المپياد رياضي > آموزش > هندسه‌ي اعداد مختلط > عنصرهاي اساسي هندسه > توازي)

- شرط لازم و كافي براي آن‌كه سه نقطه‌ي ،  و  بر روي يك خط باشند آن است كه رابطه‌ي ذيل برقرار باشد:






(رابطه‌ي 9)

ياداوري - براي توضيح بيش‌تر به‌نشاني ذيل مراجعه فرماييد:
(المپياد رياضي > آموزش > هندسه‌ي اعداد مختلط > عنصرهاي اساسي هندسه > هم‌خط بودن)
- شرط لازم و كافي براي آن‌كه آن است كه رابطه‌ي ذيل برقرار باشد:






(رابطه‌ي 10)

ياداوري - براي توضيح بيش‌تر به‌نشاني ذيل مراجعه فرماييد:
(المپياد رياضي > آموزش > هندسه‌ي اعداد مختلط > عنصرهاي اساسي هندسه > زاويه)




د – قضيه‌ي دايره‌ي واحد
ويژگي‌هاي دايره‌ي واحد شامل مواد ذيل است:
- براي هر وتر  رابطه‌ي ذيل برقرار است:






(رابطه‌ي 12)

- براي هر نقطه‌ي  واقع بر وتر رابطه‌ي ذيل برقرار است:






(رابطه‌ي 13)

- محل تقاطع خطوط مماس بر دايره به‌شعاع واحد از نقاط   و  نقطه‌ي  است.

- پاي عمود نقطه‌ي دلخواه بر روي وتر  نقطه‌ي  با ويژگي ذيل است:






(رابطه‌ي 14)

- نقطه‌ي تقاطع وترهاي  و  نقطه‌ي  است.

 



هـ – شرط لازم و كافي براي آن‌كه نقاط ، ،  و  به يك دايره تعلق داشته باشند آن است كه رابطه‌ي ذيل برقرار باشد:






(رابطه‌ي 15)

ياداوري - براي توضيح بيش‌تر به‌نشاني ذيل مراجعه فرماييد:
(المپياد رياضي > آموزش > هندسه‌ي اعداد مختلط > هم‌خط بودن و هم‌دايره بودن)




و - شرط لازم و كافي براي آن‌كه مثلث‌هاي  و  مشابه بوده و ترتيب نام‌گذاري آن‌ها متناسب با نقاط متناظر باشند آن است كه رابطه‌ي ذيل برقرار باشد:






(رابطه‌ي 16)




ز - مساحت يك مثلث  از رابطه‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد:












(رابطه‌ي 17)




ح – قضاياي ذيل را بدون اثبات مي‌پذيريم:

 شرط لازم و كافي براي آن‌كه نقطه‌ي  پاره‌خط  را به‌نسبت  تقسيم كند آن است كه رابطه‌ي ذيل برقرار باشد:






(رابطه‌ي 18)

 شرط لازم و كافي براي آن‌كه  محل تقاطع ميانه‌هاي مثلث باشد آن است كه رابطه‌ي ذيل برقرار باشد:






(رابطه‌ي 19)

 اگر  محل تقاطع ارتفاع‌ها در مثلث  باشد در اين‌صورت رابطه‌‌ي ذيل برقرار خواهد بود:






(رابطه‌ي 20)




ط - فرض كنيد دايره‌اي به‌شعاع واحد (دايره‌ي مثلثاتي) در يك مثلث  محاط شده باشد به‌گونه‌اي كه با اضلاع ،  و  به‌ترتيب در نقاط ،  و  مماس باشد:

- طول اضلاع مثلث از روابط ذيل به‌دست خواهد آمد:












(رابطه‌ي 21)

- محل تقاطع ارتفاع‌ها از رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد:






(رابطه‌ي 22)

 



ي – قضيه
 براي هر مثلث  كه در يك دايره‌ي با شعاع واحد (دايره‌ي مثلثاتي) محاط شده است تعدادي عدد نظير: ،  و  وجود دارد به‌گونه‌اي كه روابط ذيل برقرار باشد:









(رابطه‌ي 23)






(رابطه‌ي 24)






(رابطه‌ي 25)

هم‌چنين ،  و  به‌ترتيب نقاط مياني كمان‌هاي ،  و  هستند كه شامل ،  و  نمي‌شوند.




ك – مثلث  كه در آن يك رأس «صفر» است و دو رأس ديگر باقي‌مانده  و  هستند:

- اگر  محل تقاطع ارتفاع‌هاي مثلث  است در اين‌صورت رابطه‌ي ذيل برقرار خواهد بود:








(رابطه‌ي 26)

- اگر  محل تقاطع ميانه‌هاي مثلث  است در اين‌صورت رابطه‌ي ذيل برقرار خواهد بود:








(رابطه‌ي 27)




ل – اگر نقطه‌ي  با دوران نقطه‌ي  حول نقطه‌ي  با زاويه‌ي  (در جهت مثبت) به‌دست آيد در اين صورت رابطه‌ي ذيل برقرار خواهد بود:






(رابطه‌ي 28).

1387/5/14لينک مستقيم

نظر شما پس از تاييد در سايت قرار داده خواهد شد
نام :
پست الکترونيکي :
صفحه شخصي :
نظر:
تاییدانصراف
 
 المپياد رياضي

 

     

 

 

صفحه‌ي اصلي

     

 

راهنماي سايت

     

 

 

آموزش

     

 

بانك سوال

     

 

 

مسابقه

     

 

 

زنگ تفريح

     

 

 

مصاحبه و گزارش

     

 

 

معرفي كتاب

     

 

 

مشاوره

     

 

 

پرسش‌و‌پاسخ‌علمي

     

 

اخبار

     

 

فعاليت‌هاي علمي

 بازديدها
كاربران غيرعضو آنلاينكاربران غيرعضو آنلاين:  8771
 كاربران عضو آنلاين:  0
  کل كاربران آنلاين:  8771