مسابقه‌ی تصادفی

 مسابقه‌های پربازدید
 
 آرشيو
 گویا یا گنگ؟
گویا یا گنگ؟مسابقه رياضي
یک مساله ساده از نظریه‌ی اعداد
مسابقه شماره 178

گادفری هارولد هاردی، ریاضی‌دان بزرگ ابتدای قرن بیستم‌ در کتاب خود «دفاعیه یک ریاضیدان» معتقد است اثبات گویا نبودن عدد 2√ یکی از زیباترین گزاره‌های ریاضیات است.

 

مساله‌ی گویا بودن یا گویا نبودن یک عدد حقیقی همشیه از مساله‌های مورد بحث در نظریه اعداد بوده است. در اینجا می‌خواهیم یک نمونه از این مساله را بررسی کنیم.


 

 

 

 

 

 

ابتدا سعی کنید گویا نبودن عددهای 2√ و 3√  را اثبات کنید.


آیا حاصل‌جمع دو عدد گنگ لزوما عددی گنگ است؟


آیا 3√+2√ عددی گویاست؟


a+√b چه موقع عددی گنگ و چه موقع عددی گویا است؟

1391/3/20لينک مستقيم

فرستنده :
مهدیه HyperLink HyperLink 1391/6/4
مـتـن : خب قسمت اول سوالو میشه اینجوری اثبات کرد:
اگه فرض کنیم که √2 یه عدد گویاست پس باید شرایط گویا بودن رو داشته باشه. یعنی √2 رو مساوی با a/b قرار میدیم که در اون اعداد a و b اعدادی صحیح هستن (یعنی متعلق به z) و همچنین a و b باید نسبت به هم اول باشن(یعنی کسر در ساده ترین صورت باشه) پس داریم:
√2=a/b □(⇐┴(دو توان به ) ) 2=a^2/b^2 □(⇐┴(وسطین طرفین ) ) a^2= b^22 این یعنی a^2 یه عدد زوجه، میدونیم اگه توان دوم عددی زوج باشه خود اون عدد هم زوجه، پس داریم: a=2k )که k در اون یه عدد دلخواهه) در عبارت جدید طرفین رو به توان دو میرسونیم، خواهیم داشت: 4k^2= a^2 خب حالا توی دو تا عبارت مقدار a^2 رو داریم:
a^2=b^22 و a^2=k^24 □(⇐┴ ) 4k^2= b^22 □(⇐┴(دو بر طرفین تقسیم ) ) k^22= b^2 پس ثابت شد که b^2 یه عدد زوجه که نتیجه میشه خود b هم یه عدد زوجه و این با فرض مسآله در تناقضه (که a و b باید نسبت به هم اول باشند.) پس √2 گویا نیست و عددی که گویا نباشه گنگه.به همین سادگی!
به همین ترتیب اثبات میشه که √3 و √3+ √(2 ) هم اعدادی گنگ هستن.(نوشتن اثبات دومی یه خرده طولانی و خسته کننده س.اگه دوس داشتین ایمیل بزنین و ازم بخواید براتون بنویسم)
در مورد قسمت آخر سوال مطمئن نیستم ولی فک کنم همیشه √b+ √a گنگه به جز وقتی که a و b جذر کامل داشته باشن.
راستی حاصل جمع دو عدد گنگ یا یک عدد صحیح و یک عدد گنگ لزوما گنگه، بازم به جز وقتی که a و b جذر کامل داشته باشن که در این صورت اصلا گنگ نیستن و گویا اند.
پاسـخ :سلام مهدیه جان،


آفرین! پاسخ شما برای سوال اول کاملا درست است :)

خوشحال می‌شوم اگر پاسخ بقیه‌ی سوال‌ها را هم برای ما بفرستی.

موفق باشی.

نظر شما پس از تاييد در سايت قرار داده خواهد شد
نام :
پست الکترونيکي :
صفحه شخصي :
نظر:
تاییدانصراف
 
 المپياد رياضي

 

     

 

 

صفحه‌ي اصلي

     

 

راهنماي سايت

     

 

 

آموزش

     

 

بانك سوال

     

 

 

مسابقه

     

 

 

زنگ تفريح

     

 

 

مصاحبه و گزارش

     

 

 

معرفي كتاب

     

 

 

مشاوره

     

 

 

پرسش‌و‌پاسخ‌علمي

     

 

اخبار

     

 

فعاليت‌هاي علمي

 بازديدها
كاربران غيرعضو آنلاينكاربران غيرعضو آنلاين:  9260
 كاربران عضو آنلاين:  0
  کل كاربران آنلاين:  9260