مجموعه‌ها و زيرمجموعه‌ها ... سؤال همراه با جواب
سؤال
فرض كنيد S يك زيرمجموعه‌ي 70 عضوي از 
باشد. ثابت كنيد 
وجود دارند به‌گونه‌اي كه:
ابتدا لم ذيل را ثابت مي‌كنيم:
لم
چنان‌چه A يك زيرمجموعه‌ي پنج عضوي 
باشد. در اين صورت دو عضو 
وجود دارند به‌گونه‌اي كه:
(رابطه‌ي 1)
اثبات لم
فرض كنيد حكم لم برقرار نباشد. در اين صورت A از هر يك از مجموعه‌هاي سه عضوي ذيل حداكثر يك عضو دارد:
و چون A شامل 5 عضو است پس 
.
هم‌چنين A از هر يك مجموعه‌هاي سه عضوي ذيل حداكثر يك عضو دارد:
و در نتيجه 
.
اما 4 = 5 – 9 و اين با فرض خلف در تناقض است.
همانند اثبات لم مي‌توان نتيجه گرفت كه اگر X مجموعه‌اي شامل 13 عدد متوالي و A يك زيرمجموعه‌ي پنج عضوي X باشد در اين صورت: وجود دارند به‌طوري كه:
حال فرض كنيد:
در اين صورت مجموعه‌ي 
به پانزده زيرمجموعه‌ي 13 عضوي 
و يك زيرمجموعه‌ي پنج عضوي 
افراز مي‌شود.
حال از 70 عدد كه در S قرار دارند بنا به «اصل لانه‌ي كبوتري» حداقل پنج عدد در يكي از 
ها قرار دارند و لذا بنا به مطلب قبل، حكم مسأله نتيجه مي‌شود.