مسابقه‌ی تصادفی

 مسابقه‌های پربازدید
 
 آرشيو
 دايره‌هاي نامتناهي! (مسابقه‌ي شماره‌ي 18) ويژه‌ي ايام نوروز
دايره‌هاي نامتناهي! (مسابقه‌ي شماره‌ي 18) ويژه‌ي ايام نوروزمسابقه رياضي
تعداد دايره‌هايي با يك نقطه‌ي اشتراك و مماس بر شش دايره‌ي ديگر ... سؤال همراه با جواب

 سؤال
يك مجموعه از دايره‌ها در صفحه داده شده است به‌طوري كه هر دو دايره حداكثر يك نقطه‌ي مشترك دارند. هم‌چنين هر دايره حداقل بر 6 دايره مماس است. ثابت كنيد تعداد دايره‌هاي اين مجموعه نامتناهي است!؟




 جواب
فرض كنيد  تعداد دايره‌ها متناهي باشد و  دايره‌اي با كوچك‌ترين شعاع در اين مجموعه باشد. شعاع را برابر  مي‌گيريم. حداقل بر شش دايره‌ي مماس است.

فرض كنيد مركز باشد كه در آن داشته باشيم:




هم‌چنين بين  هيچ دايره‌اي مماس بر موجود نباشد كه در آن داشته باشيم:





لذا زاويه‌هاي به‌ترتيب مجاور يكديگر هستند.

بنا به تعريف ، بلندترين ضلع مثلث  است و لذا .

به‌طور مشابه ، .

از طرفي مجموع اين شش زاويه برابر است و لذا هر يك از اين زاويه‌ها برابر هستند و مثلث‌هاي متناظر متساوي‌الاضلاع مي‌باشند.

بنابراين شعاع دايره‌هاي برابر  است كه  نيز دايره‌اي با كوچك‌ترين شعاع مي‌باشد.

چنان‌چه همين استدلال را تكرار كنيم نتيجه مي‌شود دايره‌اي با شعاع مماس بر وجود دارد كه مركز آن در امتداد پاره‌خط قرار دارد.

با تكرار اين استدلال نتيجه مي‌شود در امتداد پاره‌خط بي‌نهايت دايره به شعاع  وجود دارد و اين با فرض اوليه در تناقض است. تناقض حاصل حكم مسأله را ثابت مي‌كند.


1386/1/12لينک مستقيم

فرستنده :
ليلا HyperLink HyperLink 1386/1/19
مـتـن : درشكل بالا مشاهده ميكنيم كه دايره هاي قرمزوبنفش (قسمت پاييني)آن
فقط با3دايره مماس هستند.پس به3دايره ي ديگرنيازدارند.اگر7دايره ي ديگركناران هارسم كنيم.بازهم دايره هايي نيازبه تعدادي دايره دارند.پس بايدبي نهايت دايره رسم كردتا هردايرهبا6دايره مماس باشد.

نظر شما پس از تاييد در سايت قرار داده خواهد شد
نام :
پست الکترونيکي :
صفحه شخصي :
نظر:
تاییدانصراف
 
 المپياد رياضي

 

     

 

 

صفحه‌ي اصلي

     

 

راهنماي سايت

     

 

 

آموزش

     

 

بانك سوال

     

 

 

مسابقه

     

 

 

زنگ تفريح

     

 

 

مصاحبه و گزارش

     

 

 

معرفي كتاب

     

 

 

مشاوره

     

 

 

پرسش‌و‌پاسخ‌علمي

     

 

اخبار

     

 

فعاليت‌هاي علمي

 بازديدها
كاربران غيرعضو آنلاينكاربران غيرعضو آنلاين:  4137
 كاربران عضو آنلاين:  0
  کل كاربران آنلاين:  4137