حاصلضرب اعداد اول

سؤال
حاصلضرب تعدادي اعداد اول (نه لزوما متمايز !) 10 برابر مجموع آن‌ها است. آن اعداد را بيابيد!!!!؟؟؟

نترسيد اين مسابقه فقط با كمي داشتن اطلاعات كافي از «تئوري اعداد» و به‌كمك استفاده از «استقرا»، خيلي ساده حل مي‌شه!

ديگه فقط راه‌حل را ننوشتم!

 جواب
چون حاصل‌ضرب اين اعداد بر 10 بخش‌پذير است يكي از آن‌ها بايد 2 و ديگري 5 باشد. فرض كنيم تعداد بقيه‌ي آن‌ها n تا باشد واضح است كه:

اگر باشد مطابق فرض داريم:

(رابطه‌ي 1)
چهار عدد اول 5، 3، 2 و 5 در شرايط مسأله صدق مي‌كنند:

(رابطه‌ي 2)

اگر فرض كنيم ها به‌ترتيب صعودي مرتب باشند.

(رابطه‌ي 3)
ثابت مي‌كنيم براي هر

(رابطه‌ي 4)
فرض كنيم براي حكم درست باشد.

(رابطه‌ي 5)
و

(رابطه‌ي 6)
بنابر اصل استقراي رياضي حكم ثابت است. قرار مي‌دهيم

(رابطه‌ي 7)
يعني چون ها به ترتيب صعودي مرتب شده‌اند اگر تمام ها بايد 2 باشند كه جواب ندارند.

(رابطه‌ي 8)
اما فقط در حالتي اتفاق مي‌افتد كه كه در اين صورت تمام ها تا بايد برابر 2 باشند.

(رابطه‌ي 9)
كه باز هم چون واضح است كه جواب ندارد.
بنابراين تنها جواب مسأله همان چهارتايي (5,5,3,2) است.