مسابقه‌ی تصادفی

 مسابقه‌های پربازدید
 
 آرشيو
 حاصلضرب اعداد اول (مسابقه‌ي شماره‌ي 28)
حاصلضرب اعداد اول (مسابقه‌ي شماره‌ي 28)مسابقه رياضي
اين يك مسابقه‌ي نسبتا مشكل و سؤال المپياد است! به‌عنوان راهنمايي بايد گفت كه در بخشي از مسأله، «استقرا» كمكتون خواهد كرد ... سؤال همراه با جواب

حاصلضرب اعداد اول


سؤال
حاصلضرب تعدادي اعداد اول (نه لزوما متمايز !) 10 برابر مجموع آن‌ها است. آن اعداد را بيابيد!!!!؟؟؟

نترسيد اين مسابقه فقط با كمي داشتن اطلاعات كافي از «تئوري اعداد» و به‌كمك استفاده از «استقرا»، خيلي ساده حل مي‌شه!

ديگه فقط راه‌حل را ننوشتم!

 جواب
چون حاصل‌ضرب اين اعداد بر 10 بخش‌پذير است يكي از آن‌ها بايد 2 و ديگري 5 باشد. فرض كنيم تعداد بقيه‌ي آن‌ها n تا باشد واضح است كه:


اگر باشد مطابق فرض داريم:


(رابطه‌ي 1)
چهار عدد اول 5، 3، 2 و 5 در شرايط مسأله صدق مي‌كنند:


(رابطه‌ي 2)

اگر فرض كنيم ها به‌ترتيب صعودي مرتب باشند.


(رابطه‌ي 3)
ثابت مي‌كنيم براي هر


(رابطه‌ي 4)
فرض كنيم براي حكم درست باشد.


(رابطه‌ي 5)
و


(رابطه‌ي 6)
بنابر اصل استقراي رياضي حكم ثابت است. قرار مي‌دهيم


(رابطه‌ي 7)
يعني چون ها به ترتيب صعودي مرتب شده‌اند اگر تمام ها بايد 2 باشند كه جواب ندارند.



(رابطه‌ي 8)
اما فقط در حالتي اتفاق مي‌افتد كه كه در اين صورت تمام ها تا بايد برابر 2 باشند.


(رابطه‌ي 9)
كه باز هم چون واضح است كه جواب ندارد.
بنابراين تنها جواب مسأله همان چهارتايي (5,5,3,2) است.

1386/2/5لينک مستقيم

فرستنده :
amir ya... HyperLink HyperLink 1386/3/25
مـتـن : چگونگی عضویت را به دایمیل من بزنید.


با تشکر


فرستنده :
اميد HyperLink HyperLink 1386/2/25
مـتـن : 2 و 5 دو تا از اعداد هستند. ساير اعداد را p1 تا pn ميناميم. مسئله به فرم زير ساده ميشه
p1p2...pn=7+p1+p2+...+pn
n نميتونه يك باشه.
اوه. حوصله م سر رفت.
2 3 5 5 اعداد اينا ها هستند.
به اين مي‌گن دو در كردن راه حل

نظر شما پس از تاييد در سايت قرار داده خواهد شد
نام :
پست الکترونيکي :
صفحه شخصي :
نظر:
تاییدانصراف
 
 المپياد رياضي

 

     

 

 

صفحه‌ي اصلي

     

 

راهنماي سايت

     

 

 

آموزش

     

 

بانك سوال

     

 

 

مسابقه

     

 

 

زنگ تفريح

     

 

 

مصاحبه و گزارش

     

 

 

معرفي كتاب

     

 

 

مشاوره

     

 

 

پرسش‌و‌پاسخ‌علمي

     

 

اخبار

     

 

فعاليت‌هاي علمي

 بازديدها
كاربران غيرعضو آنلاينكاربران غيرعضو آنلاين:  3872
 كاربران عضو آنلاين:  0
  کل كاربران آنلاين:  3872