مسابقه‌ی تصادفی

 مسابقه‌های پربازدید
 
 آرشيو
 باز هم استقرا! (مسابقه‌ي شماره‌ي 31)
باز هم استقرا! (مسابقه‌ي شماره‌ي 31)مسابقه رياضي
دوستان از اين به بعد سعي شده كه مسابقه‌هاي المپياد بر طبق مباحثي كه در المپياد مطرح است، طراحي شوند كه «استقرا» يكي از آن‌هاست! ... سؤال همراه با جواب
باز هم استقرا!

  سؤال

ثابت كنيد براي هر ، نابرابري ذيل برقرار است:


راهنمايي
اين مسابقه بيش از اين‌كه شبيه يك مسابقه باشه شبيه آب خوردنه‌!

براي جوابگويي به آن تنها كافي است كه فرض «استقرا» را درست قرار دهيد آن‌گاه با كمي ابتكار، مسابقه خود به خود حل مي‌شود!

  جواب

اثبات مي‌كنيم:


(رابطه‌ي 3)



به‌ازاي  رابطه برقرار است.



فرض كنيم براي  برقرار باشد نشان مي‌دهيم براي  نيز درست است.



به‌ازاي  داريم:


(e عدد نپر است)

(رابطه‌ي 4)


(رابطه‌ي 5)

از طرفي فرض كرده‌ايم:


(رابطه‌ي 6)

و نتيجه مي‌دهد:

(رابطه‌ي 7)

بنابراين با استقرا سمت چپ نابرابري ثابت شد.

قسمت دوم نابرابري را نيز با استقرا ثابت مي‌كنيم:

به‌ازاي  رابطه برقرار است.



فرض كنيم براي  برقرار باشد بايد براي  برقرار باشد.

ابتدا نابرابري ذيل را ثابت مي‌كنيم:


(رابطه‌ي 8)

فرض كنيم:


(رابطه‌ي 9)

به‌ازاي :


داريم:


(رابطه‌ي 10)

اما مي‌دانيم هر دنباله به‌صورت ذيل صعودي است:


براي  رابطه ثابت شد.

به‌ازاي  داريم:

 


بنابراين به‌ازاي  نيز نابرابري نشان داده شد. بنابراين نابرابري به‌طور كلي ثابت مي‌شود. لذا داريم:


(رابطه‌ي 10)

اما فرض كرده بوديم:


(رابطه‌ي 11)

از رابطه‌ي 10 رابطه‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد:


(رابطه‌ي 12)

بنابراين نابرابري دوم نيز با استفاده از استقرا ثابت شد.

 
1386/2/15لينک مستقيم

فرستنده :
ابوالفضل HyperLink HyperLink 1386/4/23
مـتـن : من از نامساوی های واسطه مانند آب خوردن این مسئله را حل می کنم . فقط نیاز به زمان دارم چون 10 ثانیه ای نیست که این مسئله را دیده ام .

فرستنده :
ابوالفضل HyperLink HyperLink 1386/4/20
مـتـن : من از نامساوی های واسطه مانند آب خوردن این مسئله را حل می کنم . فقط نیاز به زمان دارم چون 10 ثانیه ای نیست که این مسئله را دیده ام .

نظر شما پس از تاييد در سايت قرار داده خواهد شد
نام :
پست الکترونيکي :
صفحه شخصي :
نظر:
تاییدانصراف
 
 المپياد رياضي

 

     

 

 

صفحه‌ي اصلي

     

 

راهنماي سايت

     

 

 

آموزش

     

 

بانك سوال

     

 

 

مسابقه

     

 

 

زنگ تفريح

     

 

 

مصاحبه و گزارش

     

 

 

معرفي كتاب

     

 

 

مشاوره

     

 

 

پرسش‌و‌پاسخ‌علمي

     

 

اخبار

     

 

فعاليت‌هاي علمي

 بازديدها
كاربران غيرعضو آنلاينكاربران غيرعضو آنلاين:  8615
 كاربران عضو آنلاين:  0
  کل كاربران آنلاين:  8615