مسابقه‌ی تصادفی

 مسابقه‌های پربازدید
 
 آرشيو
 اعداد فرد و زوج (مسابقه‌ي شماره‌ي 33)
اعداد فرد و زوج (مسابقه‌ي شماره‌ي 33)مسابقه رياضي
كاربرد قضيه‌ي ويلسون ... سؤال همراه با جواب

سؤال
ثابت كنيد براي هر عدد صحيح ، عبارت ذيل عددي زوج است:





راهنمايي
از «قضيه‌ي ويلسون» كمك بگيريد.

جواب
براي  عبارت  برابر صفر خواهد بود كه عددي زوج است:





(رابطه‌ي 1)

اكنون براي مقادير عبارت مذكور را بررسي مي‌كنيم.
اعداد صحيح  و  ممكن است دو حالت داشته باشد:
الف - عدد صحيح غير اول
ب – عدد صحيح اول

الف –  و  عدد صحيح غير اول
 اگر  و  عدد صحيح غير اول باشند طبق «نظريه‌ي ويلسون» بايد بر  بخش‌پذير باشند. هم‌چنين اعداد  و نسبت به هم اول هستند لذا مضرب‌هاي آن‌ها نيز بر  بخش‌پذيراند.

ياداوري - يكي از  و  مي‌تواند زوج باشد (هم‌زمان نمي‌توانند زوج باشند)

با فرض ، عبارت بر 2 به‌توان بيش از بخش‌پذير است بنابراين عبارت زوج خواهد بود.


ب -  و  عدد صحيح اول

 اگر  عدد صحيح اول باشد:

در اين صورت  عددي غير اول بوده لذا بر  بخش‌پذير است. عددي مانند  را به‌صورت ذيل تعريف مي‌كنيم:





با به‌كار بردن «نظريه‌ي ويلسون» باقي‌مانده‌ي تقسيم  بر  عدد يك خواهد بود:




در نتيجه باقي‌مانده‌ي تقسيم  بر  نيز همان عدد يك خواهد بود:




بنابراين تقسيم  بر  باقي‌مانده‌ي  دارد:

از اين مسأله نتيجه مي‌گيريم كه  عددي صحيح خواهد بود.

اما از آن‌جايي كه  زوج است  فرد بوده بنابراين  نيز فرد است.

مي‌دانيم:





از طرفي داريم:






بنابراين عبارت فوق نيز عددي زوج خواهد بود.


 اگر  عدد صحيح اول باشد:

آن‌گاه  عددي صحيح و زوج است بنابراين  عددي صحيح و فرد خواهد بود. با استفاده از «نظريه‌ي ويلسون» باقي‌مانده‌ي تقسيم  بر  عدد  بوده و لذا  عددي صحيح و فرد خواهد بود:




بنابراين عبارت ذيل عددي زوج است:






ياداوري –
«نظريه‌ي ويلسون» (Wilson's Theorem) كه بيان مي‌دارد  عددي اول است اگر باقي‌مانده‌‌ي تقسيم  بر  عدد  باشد .

اگر  عددي غير اول باشد داراي ضريبي خواهد بود كه كوچك‌تر و مساوي  بوده و بر  بخش‌پذير است و لذا بر  غيرقابل تقسيم مي‌باشد. بنابراين باقي‌مانده‌‌ي تقسيم  بر  عدد  نخواهد بود:




اكنون فرض كنيد  عدد اول است. اگر  باشد در اين‌صورت باقي‌مانده‌‌‌ي تقسيم بر 2 عدد  خواهد بود:

اكنون فرض كنيد  فرد است. توجه داشته باشيد اگر باقي‌مانده‌‌ي تقسيم بر  عدد يك  و  باشد در اين صورت داريم:

 يا  

براي تقسيم  بر  و بنابراين تقسيم  بر  نتيجه مي‌دهد:  يا اين‌كه با تقسيم  بر  نتيجه مي‌دهد: .

اكنون براي هر ، تنها يك  وجود دارد به‌گونه‌اي كه باقي‌مانده‌‌‌ي تقسيم  بر عدد  يك باشد .

ما تنها نشان داده‌ايم كه است اگر  يا . بنابراين مي‌توانيم با تقسيم حاصلضرب هر دو  بر  عدد يك به‌دست آوريم.

مي‌دانيم حاصلضرب توان‌هاي 2 شامل:  عبارت است از: .

اگر داشته باشيم:  بنابراين  بر  بخش‌پذير است. بنابراين به‌عنوان مثال براي  عبارت ذيل زوج است:




براي عبارت  بر  بخش‌پذير بوده و  بر 8 بخش‌پذير نيست به‌گونه‌اي كه عبارت ذيل زوج است:




نهايتاً مي‌توانيم در مورد  اين موضوع را به‌سادگي بررسي كنيم.

1386/6/27لينک مستقيم

نظر شما پس از تاييد در سايت قرار داده خواهد شد
نام :
پست الکترونيکي :
صفحه شخصي :
نظر:
تاییدانصراف
 
 المپياد رياضي

 

     

 

 

صفحه‌ي اصلي

     

 

راهنماي سايت

     

 

 

آموزش

     

 

بانك سوال

     

 

 

مسابقه

     

 

 

زنگ تفريح

     

 

 

مصاحبه و گزارش

     

 

 

معرفي كتاب

     

 

 

مشاوره

     

 

 

پرسش‌و‌پاسخ‌علمي

     

 

اخبار

     

 

فعاليت‌هاي علمي

 بازديدها
كاربران غيرعضو آنلاينكاربران غيرعضو آنلاين:  4226
 كاربران عضو آنلاين:  0
  کل كاربران آنلاين:  4226