مسابقه‌ی تصادفی

 مسابقه‌های پربازدید
 
 آرشيو
 سه‌تايي و مربع كامل (مسابقه‌ي شماره‌ي 34)
سه‌تايي و مربع كامل (مسابقه‌ي شماره‌ي 34)مسابقه رياضي
آيا چهارتايي‌اي مي‌توان يافت كه حاصلضرب هر دو عدد آن مربع كامل عددي به‌علاوه‌ي يك باشد؟ ... سؤال همراه با جواب

سه‌تايي و مربع كامل
 

سؤال

سه‌تايي  از اعداد صحيح را در نظر بگيريد. در هر حالت، عددي كه يك واحد كم‌تر از حاصل‌ضرب دو تا از اين عددها باشد مربع كامل است:







با وجود اين، ثابت كنيد كه اگر عدد طبيعي جديدي چون  به اين سه‌تايي اضافه كنيم ديگر چنين چيزي درست نيست. به‌عبارت ديگر به‌ازاي هر عدد طبيعي مانند: ، عددهايي كه يك واحد كم‌تر از حاصل‌ضرب دو تا از عددهاي چهارتايي  هستند همگي مربع كامل نيستند.


جواب
چون به‌ازاي هر انتخابي به‌جاي و از سه‌تايي اوليه‌ي و مربع كامل است. فقط بايد ثابت كنيم به‌ازاي هر ، يكي از عبارت‌هاي ذيل مربع كامل نيست:




رده‌ي مانده‌ي به‌پيمانه‌ي 4 را در نظر مي‌گيريم. توجه مي‌كنيم كه هر مربع كامل به‌پيمانه‌ي 4 همواره با يكي از دو عدد 0 و 1 همنهشت است زيرا:





و در نتيجه مجموع دو مربع كامل هيچ‌گاه به‌پيمانه‌ي 4 همنهشت 3 نمي‌شود.

چند حالت وجود دارد:

حالت يكم - 2 يا
در اين حالت ، و مربع كامل نيست.
حالت دوم -
به‌طور مشابه نتيجه مي‌شود: و مربع كامل نيست.
حالت سوم -
در اين حالت به‌ازاي عدد درستي مانند ، ، و در نتيجه داريم:



حال فرض مي‌كنيم هر سه عدد ، و مربع كامل باشند و مي‌كوشيم به‌تناقض برسيم.

اگر مربع كامل باشد، به‌دليل اين‌كه ضريب 4 مربع كامل است بايد عامل نيز مربع كامل باشد.

به‌همين ترتيب عامل نيز در عدد بايد مربع كامل باشد. بنابراين هر يك از عددهاي ،  و بايد مربع كامل باشد.

از اين رو اگر فرض كنيم:




معلوم مي‌شود كه:




اينك همان‌طور كه در بالا گفتيم:

- (به‌پيمانه‌ي 4) 1 يا

- و (به پيمانه 4) 0 يا








از آن‌جا كه هيچ‌گاه به‌پيمانه‌ي 4 همنهشت 3 نمي‌شود نتيجه مي‌گيريم:

(به‌پيمانه‌ي 4)

 


از آن‌جا كه هر يك از دو عدد  به‌پيمانه‌ي 4 يا همنهشت 0 است يا همنهشت 1، همنهشتي بالا زماني درست است كه داشته باشيم:

(به‌پيمانه‌ي 4)

 

به‌عبارت ديگر بايد عددي زوج باشد ولي روشن است كه چنين نيست زيرا: .

1386/7/3لينک مستقيم

نظر شما پس از تاييد در سايت قرار داده خواهد شد
نام :
پست الکترونيکي :
صفحه شخصي :
نظر:
تاییدانصراف
 
 المپياد رياضي

 

     

 

 

صفحه‌ي اصلي

     

 

راهنماي سايت

     

 

 

آموزش

     

 

بانك سوال

     

 

 

مسابقه

     

 

 

زنگ تفريح

     

 

 

مصاحبه و گزارش

     

 

 

معرفي كتاب

     

 

 

مشاوره

     

 

 

پرسش‌و‌پاسخ‌علمي

     

 

اخبار

     

 

فعاليت‌هاي علمي

 بازديدها
كاربران غيرعضو آنلاينكاربران غيرعضو آنلاين:  3765
 كاربران عضو آنلاين:  0
  کل كاربران آنلاين:  3765