مسابقه‌ی تصادفی

 مسابقه‌های پربازدید
 
 آرشيو
 چهار نقطه‌ي غيرواقع در يك صفحه (مسابقه‌ي شماره‌ي 37)
چهار نقطه‌ي غيرواقع در يك صفحه (مسابقه‌ي شماره‌ي 37)مسابقه رياضي
كاربردي از «قضيه‌ي پتولمي» ... سؤال همراه با جواب

چهار نقطه‌ي

غيرواقع در يك صفحه





سؤال

فرض كنيد نقاط ، ،  و  در يك صفحه قرار نداشته باشند و رابطه‌هاي ذيل صادق باشد:




(رابطه‌‌ي 1)

ثابت كنيد:


(رابطه‌‌ي 2)

راهنمايي
از قضيه‌ي «پتولمي» مي‌توانيد استفاده كنيد.
جواب

اين مسأله را كلي‌تر حل مي‌كنيم.

اگرچه خارج از فرض است ولي فرض مي‌كنيم نقاط ، ، و  بر روي يك صفحه قرار دارند. اگر  يك چهارضلعي محدب باشد در صورت برابري زاويه‌هاي مقابل، چهارضلعي مذكور «متوازي‌الاضلاع» بوده و اضلاع مقابل با يكديگر برابر خواهند بود. در نتيجه رابطه‌ي 2 برقرار خواهد بود.

اما اگر  چهارضلعي محدب باشد رابطه‌ي  نشان مي‌دهد نقاط  ، ، و  بر روي يك دايره قرار مي‌گيرد و بنابراين داريم:



(رابطه‌‌ي 3)

در اين حالت مطمئناً رابطه‌هاي ذيل برقرار نخواهد بود:



(رابطه‌‌ي 4)

اگر از زواياي  كسينوس بگيريم خواهيم داشت:




(رابطه‌‌ي 5)

بنابراين خواهيم داشت:




(رابطه‌‌ي 6)

به‌طور مشابه اگر از زواياي  كسينوس بگيريم خواهيم داشت:






(رابطه‌‌ي 7)

و بنابراين رابطه‌ي ذيل حاصل مي‌شود:




(رابطه‌‌ي 8)

اگر ،  و  را به‌صورت ذيل تعريف كنيم:







(رابطه‌‌ي 9)

و رابطه‌ي 9 را در رابطه‌هاي 6، 7 و 8 قرار دهيم خواهيم داشت:






(رابطه‌‌ي 10)

در رابطه‌هاي 10 اگر هر يك از مقادير  يا  برابر «صفر» باشد ديگري نيز «صفر» خواهد بود.

اما اگر  و  برابر «صفر» باشند و داشته باشيم:





(رابطه‌‌ي 11)

بنابراين خواهيم داشت:



(رابطه‌‌ي 12)

از سوي ديگر اگر نه  نه  برابر «صفر» نباشند نتيجه خواهيم گرفت:


(رابطه‌‌ي 13)

و در نتيجه خواهيم داشت:


(رابطه‌‌ي 14)

بنابراين خواهيم داشت:

-
يا
-

در هر حالت از قضيه‌ي «پتولمي» (Ptolemy's Theorem) استفاده مي‌كنيم.

استفاده از اين قضيه نشان مي‌دهد كه:

- نقاط  ، ، و  در يك صفحه قرار داشته باشند.

- از نقاط  ، ، و  يك دايره خواهد گذشت با بر روي يك خط قرار خواهند گرفت.

اما اگر فرض شود نقاط  ، ، و  بر روي يك صفحه قرار نداشته باشند بنابراين لازم است رابطه‌ي 4 برقرار باشد.

 

1386/8/17لينک مستقيم

فرستنده :
عماد HyperLink HyperLink 1386/8/24
مـتـن : با سلام
ميدانيم که فضاي بين 3نقطه هميشه تشکيل صفحه (مثلث) مي دهد، و هر 4ضلعي حتي غير محدب يا فضايي(در اينجا براي سهولت 4وجهي ABCD را يک 4ضلعي فضايي يا خم شده در نظر مي گيريم) از 2 مثلث تشکيل شده است.و 4ضليACBD نيز از 2مثلث ABC و ADC تشکيل شده است.
و اين 2 مثلث در خط AD مشترک و B<= (رابطه‌‌ي 1).
حال مي توانيم بگوييم اين 2مثلث مساوي و در نتيجه 4ضلعي ABCD متوراي الاضلاع مانند پس (رابطه‌‌ي 2) نيز اثبات مي شود.
راستش ذهنی بلدم ولی بیان اسباتش رو نمی تونم بنویسم.
- همراه با تشکر فراوان
پاسـخ : emad_2006new@yahoo.com
عماد جان!
از اين‌كه در مسابقه شركت كردي تشكز مي‌كنم. پيشنهاد مي‌كنم سري به زنگ تفريح شماره‌ي 31 بزني و دومرتبه مسأله را حل كني.
انشاءالله موفق باشي!

نظر شما پس از تاييد در سايت قرار داده خواهد شد
نام :
پست الکترونيکي :
صفحه شخصي :
نظر:
تاییدانصراف
 
 المپياد رياضي

 

     

 

 

صفحه‌ي اصلي

     

 

راهنماي سايت

     

 

 

آموزش

     

 

بانك سوال

     

 

 

مسابقه

     

 

 

زنگ تفريح

     

 

 

مصاحبه و گزارش

     

 

 

معرفي كتاب

     

 

 

مشاوره

     

 

 

پرسش‌و‌پاسخ‌علمي

     

 

اخبار

     

 

فعاليت‌هاي علمي

 بازديدها
كاربران غيرعضو آنلاينكاربران غيرعضو آنلاين:  4119
 كاربران عضو آنلاين:  0
  کل كاربران آنلاين:  4119