آن‌چه كه با عنوان «چكيده» در اول مسابقه‌ها و زنگ تفريح‌ها مشاهده مي‌كنيد صرفاً مخصوص معلمان، مربيان، كارشناسان محترم آموزشي و ساير علاقه‌مندان است.

هدف از اين زنگ تفريح، آموزش دانش امور كلي و مسائل انتزاعي از اهداف شناختي است. بخشي از مطالب مربوط به مبحث «نامساوي‌ها در مثلث» در اين زنگ تفريح ارائه مي‌شود.

پس از مطالعه‌ي اين زنگ تفريح، دانش‌اموزان قادر به‌انجام امور ذيل خواهند بود:

يكي از مهم‌ترين نامساوي‌ها در رياضي، «نامساوي‌ها در مثلث» است. «نامساوي در مثلث» از يك نگاه عام بر روي فاصله بين نقاط متمركز بوده و عبارت است از اين‌كه خط مستقيم بين نقاط  و  از جمع فواصل نقطه‌ي  تا  و تا از هر مسيري كم‌تر است. اين امر بديهي بخشي از به‌اصطلاح بينش روزانه‌ي ما است و يادگيري آن ساده بوده اما در عين حال بسيار كاربردي است.

گاهي وقتي سخن از «نامساوي‌ها در مثلث» مي‌آيد به‌ياد نامساوي مربوط به اضلاع و زواياي مثلث نظير موارد ذيل مي‌افتيم:

در اين زنگ تفريح ضمن بيان روابط رياضي مربوط به نامساوي‌هاي ذكر شده در مثلث (همراه با ذكر قضيه‌هاي مربوط) به بيان يك «نامساوي بزرگ‌تر در مثلث!» هم مي‌پردازيم.

در پايان از يكي از محققان رياضي و طراحان سؤال‌هاي المپياد جهاني رياضي سخن خواهيم گفت.

فاصله‌ها در اعداد حقيقي

با فرض  و  به‌عنوان اعدادي حقيقي،  بيانگر عدد مربوط به فاصله بين دو نقطه‌ي  و  است؛ بنابراين دو حالت ممكن است:

	- اگر  داريم: (رابطه‌ي 1)
	- اگر  داريم: (رابطه‌ي 2)

گاهي اوقات مي‌توان رابطه‌ي 3 را با نماد ذيل نشان داد:

بديهي است براي هر سه نقطه نظير: ،  و  مي‌توان نامساوي‌هاي ذيل را نوشت:

رابطه‌ي فوق به «نامساوي در مثلث» (The Triangle Inequality) مشهور است.

براي اثبات رابطه‌ي 5 دو حالت را در نظر مي‌گيريم:

- حالت اول -
در صورت وجود حالت اول، سه حالت ديگر ممكن است:

	و در اين حالت داريم: (رابطه‌ي 6) هم‌چنين داريم: (رابطه‌ي 7) در نتيجه داريم: (رابطه‌ي 8)
	و در اين حالت داريم: (رابطه‌ي 9) هم‌چنين داريم: (رابطه‌ي 10) در نتيجه داريم: (رابطه‌ي 11)
	و در اين حالت داريم: (رابطه‌ي 12) و هم‌چنين داريم: در نتيجه داريم: (رابطه‌ي 13)

- حالت دوم -
در اين صورت خواهيم داشت:

در صورت وجود حالت دوم، سه حالت ديگر ممكن است:

	و در اين حالت داريم: (رابطه‌ي 15) و هم‌چنين داريم: (رابطه‌ي 16) در نتيجه داريم: (رابطه‌ي 17)
	و در اين حالت داريم: (رابطه‌ي 18) و هم‌چنين داريم: (رابطه‌ي 19) در نتيجه داريم: (رابطه‌ي 20)
	و در اين حالت داريم: (رابطه‌ي 21) و هم‌چنين داريم: (رابطه‌ي 22) در نتيجه داريم: (رابطه‌ي 23)

و يا داريم:

مي‌توانيم رابطه‌هاي ذيل را در مورد «نامساوي در مثلث» (The Triangle Inequality) بنويسيم:

در هر مثلث  با اضلاع ،  و  به‌ترتيب روبه‌روي زواياي ،  و ، «محيط»  و «مساحت»  از روابطي نظير ذيل به‌دست مي‌آيد:

مي‌توان ثابت كرد كه در هر مثلث مي‌توان نامساوي‌هاي ذيل را نوشت:

	-  اگر و فقط اگر
	-  اگر و فقط اگر
	-  اگر و فقط اگر

رابطه‌ي 45 توسط «سيدونز» (Siddons) و «هوقس» (Hughes) در سال 1308 (1929 ميلادي) اثبات شد.

معكوس «قضيه‌ي هينگه» (Hinge Theorem) نيز صادق است: اگر دو ضلع يك مثلث با دو ضلع مثلث دوم متجانس باشند و ضلع سوم مثلث اول بزرگ‌تر از ضلع سوم مثلث دوم باشد؛ هم‌چنين زاويه‌ي بين دو ضلع متجانس مثلث دوم از زاويه‌ي بين مثلث اول بزرگ‌تر باشد در اين صورت زاويه‌ي روبه‌روي ضلع سوم مثلث اول بزرگ‌تر خواهد بود زيرا ضلع سوم مثلث اول از ضلع سوم مثلث دوم بزرگ‌تر است.

در اين لحظه، هواپيماي شما 70 كيلومتر با زاويه‌ي 30 درجه‌ به‌سمت شمال‌شرق پرواز مي‌كند. در همان حال، هواپيماي دوست‌تان تغيير مسير داده و 70 كيلومتر با زاويه‌ي 40 درجه به‌سمت جنوب‌غربي حركت مي‌كند.

در حالي كه هر دو هواپيما 190 كيلومتر پيموده باشند كدام‌يك از فرودگاه فاصله‌ي بيش‌تري گرفته است؟

به‌راحتي با استفاده از «قضيه‌ي هينگه» (Hinge Theorem) مي‌توان نتيجه گرفت هواپيماي دوست‌تان فاصله‌ي بيش‌تري از فرودگاه دارد.

همان‌طور كه در شكل 3 نشان داده شده است مثلث اول  و مثلث دوم  است و داريم:

در نتيجه داريم:

كمي بعد پروفسور «موراي كلامكين» (Murray Klamkin) - يكي از افرادي كه اخيراً مسائل زيادي توسط وي حل شده است – اثباتي يك‌صفحه‌اي براي آن ارائه داد.

«هـ. ر. باييلي» (H. R. Bailley) و «ر. بانيستر» (R. Bannister) براي بيان رابطه‌ي خود از يك مثلث قايم‌الزاويه و يك مربع محاط بر آن استفاده كردند. آنان دو روشي را كه يك مربع مي‌تواند در يك مثلث قايم‌الزاويه محاط شود مقايسه كردند. سؤال اين بود كه كدام مربع بزرگ‌تر است؟

فرض كنيد داشته باشيم:

	-  و ساق‌هاي مثلث
	-  وترهاي مثلث
	-  ارتفاع وارد بر وتر
	- و  اضلاع مربع‌ها به‌ترتيب در شكل‌هاي 6 و 7

در هر دو شكل، وجود مثلث‌هاي مشابه منجر به روابط ذيل مي‌شود:

از روابط 21 مي‌توان رابطه‌ي ذيل را نتيجه گرفت:

و سرانجام رابطه‌ي ذيل را مي‌توان به‌دست آورد:

بنابراين در يك مثلث قايم‌الزاويه هم  و هم هر دو برابر با مساحت مثلث هستند بنابراين داريم:

لذا از روابط 50 مي‌توان نتيجه گرفت كه نسبت اندازه‌ي مساحت‌هاي مربع‌ها با اندازه‌هاي  و نسبت عكس دارد.

براي مقايسه‌ي اندازه‌هاي  و ، تفاوت مربع‌هاي آن‌ها را محاسبه مي‌كنيم:

از رابطه‌ي فوق چنين نتيجه مي‌گيريم:

در يك مثلث قايم‌الزاويه هميشه رابطه‌ي ذيل صادق است:

رابطه‌ي 26 بدين‌معنا است كه:

بنابراين اضافه كردن ارتفاع  منجر به معكوس «نامساوي در مثلث‌« مي‌شود:

طبيعي بود كه «هـ. ر. باييلي» (H. R. Bailley) و «ر. بانيستر» (R. Bannister) پس از اثبات اين مطلب، پيش رفته و مقادير  و را براي مثلث‌هايي غير از قايم‌الزاويه بررسي كنند. نتايج به‌دست آمده توسط آنان هيجان‌انگيز بود.

در يك مثلث با اضلاع  ،  و  ارتفاع  و زاويه‌ي  روبه‌روي ضلع  باشد در اين صورت خواهيم داشت:

رابطه‌ي 59 زماني محقق مي‌شود كه رابطه‌ي ذيل را داشته باشيم:

يا همان‌طور كه «هـ. ر. باييلي» (H. R. Bailley) و «ر. بانيستر» (R. Bannister) ابراز داشته‌اند رابطه‌ي 59 براي بيش‌تر مثلث‌هايي صادق است كه داشته باشيم:

علاوه بر آن مي‌دانيم:

اثبات ذيل به پروفسور «موراي كلامكين» (Murray Klamkin) منتسب شده است كه براساس اتحاد ذيل بيان شده است:

رابطه‌ي فوق در هر مثلثي صادق است و در آن زواياي   و  به‌ترتيب روبه‌روي اضلاع  و  هستند.

براي مقادير ثابت ، نسبت  زماني حداقل خواهد بود كه  و با يكديگر مساوي باشند (مثلث متساوي‌الساقين):

لذا براي مثلث با زواياي حاده رابطه‌ي ذيل را خواهيم داشت:

رابطه‌ي 65 تنها و تنها زماني صادق است كه داشته باشيم:

براي اين‌كه رابطه‌ي 59 برقرار باشد بايد داشته باشيم:

سمت چپ رابطه‌ي 67 يك تابع نزولي از بوده و برابر با 1 است زماني كه داشته باشيم:

و زماني رابطه‌ي 68 برقرار است كه داشته باشيم:

بنابراين رابطه‌ي 59 زماني برقرار است كه نامساوي ذيل صادق باشد:

بدين‌ترتيب تنها كافي است رابطه‌ي 63 را ثابت كنيم.

اگر  شعاع دايره‌ي محيطي مثلث باشد داريم:

بنابراين داريم:

با استفاده از رابطه‌هاي مقدماتي مثلثاتي و اين‌كه: ، رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد:

از آن‌جايي كه در هر مثلث مجموع زواياي داخلي مثلث برابر 180 درجه است داريم:

با جايگذاري رابطه‌ي 74 در رابطه‌ي 73 خواهيم داشت:

(رابطه‌ي 75)

«موراي كلامكين» (Murray Klamkin)

وي در سال‌هاي 1341 تا 1355 (1962 تا 1976 ميلادي) در چند شركت امريكايي نيز اشتغال داشت. در اين سال‌ها، استاد مهمان «دانشگاه مينوستا» (University of Minoseta) نيز بود.

در سال 1355 (1976 ميلادي) به‌سمت پروفسوري «دانشگاه واترلو» (University of Waterloo) نايل شد. در سال‌هاي 1315 تا 1360 (1976 تا 1981 ميلادي) رئيس گروه رياضي «دانشگاه آلبرتا» (University of Alberta) بود. در سال 1360 به‌سمت «ايمريتوس پروفسور» (پروفسور بازنشسته) (Emeritus Professor) نايل آمد.

«موراي كلامكين» (Murray Klamkin) به طراح و ويراستار سؤال‌هاي رياضي مشهور است. وي ويراستار ماهنامه‌ي امريكايي «سيام رويو» (SIAM Review) و مجله‌هاي ديگري بوده است.

وي هم‌چنين به‌خاطر فعاليت‌هايش در رقابت‌هاي بين‌المللي از جمله: «المپياد ملي ايالات متحده‌ي امريكا» (United States of America Mathematical Olympiad) (USAMO)، «المپياد جهاني رياضي» (the International Mathematical Olympiad) (IMO) و «رقابت‌هاي پوت‌نام» (Putnam Competition) شهرت يافته است.

در سال 1371 (1992 ميلادي)، «فدراسيون جهاني رقابت‌هاي رياضي امريكا» (The World Federation of National Mathematics Competitions)، جايزه‌ي «ديويد هيلبرت» (David Hilbert) را به‌خاطر همكاري‌هايش در رقابت‌هاي رياضي به وي اهدا كرد.