|
.gif)
«مساحت» يكي از مفاهيم اساسي و بديهي در «هندسه» است كه تعريف آن بسيار مشكل است. به‌طوري كه بسياري از نوشتارها از تعريف آن اجتناب كرده‌اند. شايد بتوان گفت كميتي براي اندازه‌ي يك شكل در صفحه‌ي اقليدسي (يا صفحه‌ي دوبعدي) است. بر اين اساس، «نقطه‌ها» و «خطوط» داراي مساحت «صفر» هستند اگرچه «مساحت» يك شكل توسط تعداد بي‌نهايتي از آن‌ها پُر مي‌شود.
اما به هر حال شايد بتوان «مساحت» را با گزاره‌هاي ذيل تعريف كرد:
|
- مساحت «واحد مربع» برابر 1 است. |
|
- چندضلعي‌هاي متجانس داراي مساحت‌هاي برابر هستند. |
|
- اگر يك چندضلعي از يك يا دو چندضلعي تشكيل شده باشد كه نقطهي دروني مشترك نداشته باشند مساحت چندضلعي اول از جمع مساحت يا مساحت‌هاي اين چندضلعي‌ها به‌دست مي‌آيد. |
«مساحت» و «محيط» چند شكل هندسي ساده را مي‌توان به‌صورت ذيل بيان كرد (  مساحت و .png) محيط است):
- مثلث
(رابطه‌ي 1)
- مستطيل
(رابطه‌ي 2)
- متوازي‌الاضلاع
(رابطه‌ي 2)
- لوزي
(رابطه‌ي 4)
- بيضي
(رابطه‌ي 5)
- ذوزنقه
(رابطه‌ي 6)
- دايره
(رابطه‌ي 7)
- قطاع دايره
(رابطه‌ي 8)
كه در آن .png) زاويه‌ي مركزي روبه‌رو به قطاع دايره بوده برحسب «راديان» بايد جاگذاري شود.
- مخروط
(رابطه‌ي 9)
- منشور با قاعده‌ي مثلث (مثلث‌القاعده)
(رابطه‌ي 10)
- منشور با قاعده‌ي مستطيل (مستطيل‌القاعده)
(رابطه‌ي 11)
- استوانه
(رابطه‌ي 12)
- چندضلعي با اضلاع مساوي (با .png) ضلع با طول برابر .png) )
(رابطه‌ي 13)
- كره
(رابطه‌ي 14)
- چندضلعي
با اين فرض كه .png) مختصات نقطهي .png) ام نسبت به مبدأ فرضي مختصات باشد.
(رابطه‌ي 15)
براي محاسبه‌ي مساحت يك مثلث با استفاده از طول اضلاع آن، «رابطه‌ي هرون» (Heron's Formula) به‌صورت ذيل تعريف مي‌شود:
(رابطه‌ي 16)
كه در آن .png) نصف محيط دايره است:
(رابطه‌ي 17)
براي اثبات «فرمول هرون» مثلثي نظير .png) را درنظر مي‌گيريم كه در آن .png) ، .png) و .png) به‌ترتيب اضلاع روبه‌رو به رؤوس ، .png) و .png) باشند. اگر .png) را ارتفاع نظير رأس درنظر بگيريم داريم:
(رابطه‌ي 18)
با توجه به رابطه‌ي 17 مي‌توان نوشت:
(رابطه‌ي 19)
همان‌طور كه در شكل ملاحظه مي‌فرماييد داريم:
(رابطه‌ي 20)
از طرفي در مثلث‌هاي قايم‌الزاويه‌ي .png) و .gif) داريم:
(رابطه‌ي 21)
رابطه‌ي 20 را مي‌توانيم به‌صورت ذيل نوشته طرفين رابطه را به‌توان دو مي‌رسانيم:
(رابطه‌ي 22)
اكنون به‌طرفين رابطه‌ي 22 عبارت .png) را مي‌افزاييم:
(رابطه‌ي 23)
با جايگذاري رابطه‌ي 21 در 23 خواهيم داشت:
(رابطه‌ي 24)
اكنون مقدار .png) را از رابطه‌هاي 21 و 24 مي‌توانيم محاسبه كنيم:
(رابطه‌ي 25)
و يا:
(رابطه‌ي 26)
با جايگذاري رابطه‌ي 18 در رابطه‌ي 26 خواهيم داشت:
(رابطه‌ي 27)
|
«هرون» (Heron of Alexandria) |
«فرمول هرون» به يك هندسه‌دان مصري به‌نام «هرون» (Heron of Alexandria) يا «هرو» (Hero) نسبت داده مي‌شود كه در سال 65 ميلادي به‌دنيا آمد و در سال 125 ميلادي دار فاني را وداع گفت.
كتابيي با عنوان «اندازه‌ها – جلد اول» (Metrica) به وي انتساب داده شده است كه در آن مساحت «مثلث‌ها»، «چهارضلعي‌ها»، «چندضلعي‌هاي منتظم» (3 تا 12 ضلعي)، «مخروط‌ها»، «استوانه‌ها»، «منشورها»، «هرم‌ها»، «كره‌ها» و ... محاسبه شده است.
وي هم‌چنين ريشه‌ي دوم اعداد را به‌طور تقريبي با روشي معرفي كرد كه 200 سال قبل به بابليان نسبت داده مي‌شد.
در جلد دوم كتاب مذكور، از «حجم» اشكال مختلف دوبعدي نظير: «كره‌ها»، «استوانه‌ها»، «مخروط‌ها»، «منشورها»، «هرم‌ها» و ... بحث كرده است. در قسمت سوم كتاب مذكور، از تقسيم مساحت و حجم و به‌دست آوردن نسبتي مشخص صحبت كرده است.
در كتابي با عنوان «ديوپتر» (Dioptra) از «زاويه‌سنج‌هاي طول‌ياب» (Theodolite) و «نقشه‌برداري» صحبت مي‌كند. در اين كتاب فصلي به «نجوم» اختصاص داده شده است. در آن فصل، فاصله‌ي «اسكندريه» و «روم» با استفاده از اختلاف زمان منطقه‌اي در هنگام مشاهده‌ي گرفتگي ماه (خسوف) در هر يك از شهرها محاسبه شده است.
در كتابي با عنوان: «آينه و نور» (Catoptrica) از «آينه‌ها» صحبت مي‌كند. در اين مطالعه، «هرون» نتايج مشاهده‌هاي خود را از اشعه‌هاي نوري خارج شده از چشم منعكس كرده است. او اعتقاد داشت اين اشعه‌ها با سرعت نامحدودي حركت مي‌كنند.
.gif) |
|
«اوليپيل» (Aeolipile) |
«هرون» كتاب‌هاي زيادي در زمينه‌ي «مكانيك» نوشت. روش‌هايي براي بلند كردن اجسام سنگين و ماشين‌هاي مكانيكي ساده ارائه كرده است. هم‌چنين از ويژگي‌هاي يك ماشين بخار ابداعي با عنوان «اوليپيل» (Aeolipile) صحبت نموده است.
|