زنگ‌تفریح تصادفی

 زنگ‌تفریح‌های پربازدید
 آرشيو
 
 مساحت – قسمت اول - مثلث (زنگ تفريح شماره‌ي 38)
مساحت – قسمت اول - مثلث (زنگ تفريح شماره‌ي 38)زنگ تفريح رياضي
فرمول هرون

مساحت – قسمت اول

مثلث






اشاره

در اين زنگ تفريح، روابط «محيط» و «مساحت» بعضي از اشكال رايج هندسي بيان خواهد شد. سپس «فرمول هرون» معرفي مي‌شود و در پايان درباره‌ي فعاليت‌هاي علمي هندسه‌دان شهير «هرون» مختصراً بحث خواهيم كرد.

اميدواريم در اين زنگ‌تفريح، به‌طور ساده آن‌چه را كه براي درك مفاهيم و روابط «مساحت» لازم است ارائه كنيم.




چكيده
اهداف آموزشي
 اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي - دانش
    - «دانش امور جزوي» > «دانش واقعيت‌هاي مشخص»
 اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي - توانايي‌ها و مهارت‌هاي ذهني
    - « دانش امور كلي و مسائل انتزاعي يك رشته» > « دانش اصل‌ها و تعميم‌ها»
 نتايج مورد نظر
    - يافتن روابط مربوط به مساحت در اشكال ساده‌ هندسي
    - درك روابط پيچيده‌ي مربوط به مساحت چندضلعي‌ها
    - يافتن مساحت با دانستن طول اضلاع آن
محتواي آموزشي (سرفصل‌هاي المپياد جهاني)
    - هندسه

 


 



مساحت

«مساحت» يكي از مفاهيم اساسي و بديهي در «هندسه» است كه تعريف آن بسيار مشكل است. به‌طوري كه بسياري از نوشتارها از تعريف آن اجتناب كرده‌اند. شايد بتوان گفت كميتي براي اندازه‌ي يك شكل در صفحه‌ي اقليدسي (يا صفحه‌ي دوبعدي) است. بر اين اساس، «نقطه‌ها» و «خطوط» داراي مساحت «صفر» هستند اگرچه «مساحت» يك شكل توسط تعداد بي‌نهايتي از آن‌ها پُر مي‌شود.

اما به هر حال شايد بتوان «مساحت» را با گزاره‌هاي ذيل تعريف كرد:

- مساحت «واحد مربع» برابر 1 است.
- چندضلعي‌هاي متجانس داراي مساحت‌هاي برابر هستند.

- اگر يك چندضلعي از يك يا دو چندضلعي تشكيل شده باشد كه نقطه‌ي دروني مشترك نداشته باشند مساحت چندضلعي اول از جمع مساحت يا مساحت‌هاي اين چندضلعي‌ها به‌دست مي‌آيد.




مساحت چند شكل هندسي ساده
«مساحت» و «محيط» چند شكل هندسي ساده را مي‌توان به‌صورت ذيل بيان كرد ( مساحت و  محيط است):




- مثلث









(رابطه‌ي 1)




- مستطيل









(رابطه‌ي 2)



- متوازي‌الاضلاع







(رابطه‌ي 2)




- لوزي














(رابطه‌ي 4)





- بيضي













(رابطه‌ي 5)



- ذوزنقه



 





(رابطه‌ي 6)
 



- دايره



 


(رابطه‌ي 7)

 


- قطاع دايره









(رابطه‌ي 8)

كه در آن  زاويه‌ي مركزي روبه‌رو به قطاع دايره بوده برحسب «راديان» بايد جاگذاري شود.

 


- مخروط



 

(رابطه‌ي 9)



- منشور با قاعده‌ي مثلث (مثلث‌القاعده)


 

(رابطه‌ي 10)


- منشور با قاعده‌ي مستطيل (مستطيل‌القاعده)



 



(رابطه‌ي 11)




- استوانه



 


(رابطه‌ي 12)




- چندضلعي با اضلاع مساوي (با  ضلع با طول برابر )



 




(رابطه‌ي 13)




- كره



 
(رابطه‌ي 14)




- چندضلعي‌
با اين فرض كه  مختصات نقطه‌‌ي ام نسبت به مبدأ فرضي مختصات باشد.



 
















(رابطه‌ي 15)












فرمول هرون
براي محاسبه‌ي مساحت يك مثلث با استفاده از طول اضلاع آن، «رابطه‌ي هرون» (Heron's Formula) به‌صورت ذيل تعريف مي‌شود:




(رابطه‌ي 16)

كه در آن  نصف محيط دايره است:





(رابطه‌ي 17)





براي اثبات «فرمول هرون» مثلثي نظير  را درنظر مي‌گيريم كه در آن ،  و  به‌ترتيب اضلاع روبه‌رو به رؤوس ،  و  باشند. اگر  را ارتفاع نظير رأس  درنظر بگيريم داريم:





(رابطه‌ي 18)

با توجه به رابطه‌ي 17 مي‌توان نوشت:










(رابطه‌ي 19)




همان‌طور كه در شكل ملاحظه مي‌فرماييد داريم:




(رابطه‌ي 20)

از طرفي در مثلث‌هاي قايم‌الزاويه‌ي  و  داريم:






(رابطه‌ي 21)

رابطه‌ي 20 را مي‌توانيم به‌صورت ذيل نوشته طرفين رابطه را به‌توان دو مي‌رسانيم:








(رابطه‌ي 22)

اكنون به‌طرفين رابطه‌ي 22 عبارت  را مي‌افزاييم:





(رابطه‌ي 23)

با جايگذاري رابطه‌ي 21 در 23 خواهيم داشت:








(رابطه‌ي 24)

اكنون مقدار  را از رابطه‌هاي 21 و 24 مي‌توانيم محاسبه كنيم:





























(رابطه‌ي 25)

و يا:






(رابطه‌ي 26)

با جايگذاري رابطه‌ي 18 در رابطه‌ي 26 خواهيم داشت:






(رابطه‌ي 27)





«هرون از اسكندريه»
(Heron of Alexandria
)



«هرون» (Heron of Alexandria)

«فرمول هرون» به يك هندسه‌دان مصري به‌نام «هرون» (Heron of Alexandria) يا «هرو» (Hero) نسبت داده مي‌شود كه در سال 65 ميلادي به‌دنيا آمد و در سال 125 ميلادي دار فاني را وداع گفت.

كتابيي با عنوان «اندازه‌ها – جلد اول» (Metrica) به وي انتساب داده شده است كه در آن مساحت «مثلث‌ها»، «چهارضلعي‌ها»، «چندضلعي‌هاي منتظم» (3 تا 12 ضلعي)، «مخروط‌ها»، «استوانه‌ها»، «منشورها»، «هرم‌ها»، «كره‌ها» و ... محاسبه شده است.

وي هم‌چنين ريشه‌ي دوم اعداد را به‌طور تقريبي با روشي معرفي كرد كه 200 سال قبل به بابليان نسبت داده مي‌شد.

در جلد دوم كتاب مذكور، از «حجم» اشكال مختلف دوبعدي نظير: «كره‌ها»، «استوانه‌ها»، «مخروط‌ها»، «منشورها»، «هرم‌ها» و ... بحث كرده است. در قسمت سوم كتاب مذكور، از تقسيم مساحت و حجم و به‌دست آوردن نسبتي مشخص صحبت كرده است.

در كتابي با عنوان «ديوپتر» (Dioptra) از «زاويه‌سنج‌هاي طول‌ياب» (Theodolite) و «نقشه‌برداري» صحبت مي‌كند. در اين كتاب فصلي به «نجوم» اختصاص داده شده است. در آن فصل، فاصله‌ي «اسكندريه» و «روم» با استفاده از اختلاف زمان منطقه‌اي در هنگام مشاهده‌ي گرفتگي ماه (خسوف) در هر يك از شهرها محاسبه شده است.




در كتابي با عنوان: «آينه و نور» (Catoptrica) از «آينه‌ها» صحبت مي‌كند. در اين مطالعه، «هرون» نتايج مشاهده‌هاي خود را از اشعه‌هاي نوري خارج شده از چشم منعكس كرده است. او اعتقاد داشت اين اشعه‌ها با سرعت نامحدودي حركت مي‌كنند.


«اوليپيل» (Aeolipile)



«هرون»
كتاب‌هاي زيادي در زمينه‌ي «مكانيك» نوشت. روش‌هايي براي بلند كردن اجسام سنگين و ماشين‌هاي مكانيكي ساده ارائه كرده است. هم‌چنين از ويژگي‌هاي يك ماشين بخار ابداعي با عنوان «اوليپيل» (Aeolipile) صحبت نموده است.

1386/10/10لينک مستقيم

فرستنده :
ناشناس HyperLink HyperLink 1386/12/28
مـتـن : با سلام و تشکر از زحمات شما عزیزان میخواستم بگوئیم ای کاش میشد برای افراد عادی هم از این قبیل بازیهای هوش بخصوص اشکال . اجشام و ریاصیات با کفتار بسیار عامیانه و راحت برنامه ائی داشته باشید تا انها هم بتوانند انشاالله ان استعداد ÷نهان خود را تقویت کنند . حداوند پشت و پناهتان.
پاسـخ :ايميل فرستنده: elahe20010@yahoo.com
تاريخ ارسال: 1386/12/26

دوست گرامي!
ضمن تشكر از شما
اگرچه مطالب سايت المپياد، ويژه‌ي بچه‌هاي المپيادي است ولي براي ساير دانش‌اموزان مستعد نيز قابل استفاده است.
انشاءالله در طرح‌هاي توسعه‌ي سايت رشد، بنا داريم براي ساير دانش‌اموزان نيز برنامه‌هايي داشته باشيم.
انشاءالله موفق باشيد!

نظر شما پس از تاييد در سايت قرار داده خواهد شد
نام :
پست الکترونيکي :
صفحه شخصي :
نظر:
تاییدانصراف
 
 المپياد رياضي

 

     

 

 

صفحه‌ي اصلي

     

 

راهنماي سايت

     

 

 

آموزش

     

 

بانك سوال

     

 

 

مسابقه

     

 

 

زنگ تفريح

     

 

 

مصاحبه و گزارش

     

 

 

معرفي كتاب

     

 

 

مشاوره

     

 

 

پرسش‌و‌پاسخ‌علمي

     

 

اخبار

     

 

فعاليت‌هاي علمي

 بازديدها
كاربران غيرعضو آنلاينكاربران غيرعضو آنلاين:  3150
 كاربران عضو آنلاين:  0
  کل كاربران آنلاين:  3150