در اين زنگ تفريح با كمك شما بنا داريم قضيه‌ها و روش‌هاي بسياري را در زمينه‌ي «نامساوي‌ها» مطرح كنيم كه مي‌تواند براي حل مسائلي كاربرد داشته باشد كه در المپيادهاي رياضي يا رقابت‌هاي كشوري مي‌تواند مطرح شود. بسياري از مسائل در زمينه‌ي نامساوي‌ها از اين قضايا برگرفته شده است. مي‌خواهيم از كمك شما نيز بهره بگيريم لذا سعي مي‌كنيم مطالب را از ساده به مشكل براي‌تان طرح كنيم. هم‌چنين منتظريم كه اشكال مطالب را به ما گوشزد كرده مطالب مفيد ديگري از اين مبحث را به دوستان‌تان منتقل كنيد.
| توابع «محدب» (Convex) و «مقعر» (Concave) |
از آن‌جايي كه از توابع «محدب» (Convex) و «مقعر» (Concave) براي بيان قضاياي مربوط به نامساوي‌ها استفاده مي‌كنيم لذا ابتدا به تعريف آن‌ها مي‌پردازيم. فرض كنيد .gif) و .gif) به ترتيب در بازه‌هاي «بسته‌‌ي» .gif) و «باز» .gif) تعريف شده باشند:
| - اصطلاحاً گفته مي‌شود تابع .gif) در «محدب» (Convex) است اگر و فقط اگر براي همه‌ي .gif) و .gif) داشته باشيم:
(رابطه‌ي 1)
| | - به‌طور معكوس اگر و فقط اگر نامساوي هميشه در جهت مخالف باشد اصطلاحاً گفته مي‌شود تابع در «مقعر» (Concave) است:
(رابطه‌ي 2) |
«تقعر» و «تحدب» يك تابع را مي‌توان به‌گونه‌اي ديگر نيز تعريف كرد: اگر تابع در بازه‌ي پيوسته بوده و دوبار در بازه‌ي مشتق‌پذير باشد:
| - بر روي بازه‌ي «محدب» خواهد بود اگر و فقط اگر براي هر .gif) داشته باشيم:
(رابطه‌ي 3)
| | - بر روي بازه‌ي «مقعر» خواهد بود اگر و فقط اگر براي هر داشته باشيم:
(رابطه‌ي 4)
|
دو دنباله نظير ذيل از «اعداد حقيقي» را در نظر بگيريد:
اگر براي .gif) داشته باشيم:
(رابطه‌ي 5)
در اين صورت گفته مي‌شود دنبالهي .gif) بر روي دنبالهي .gif) نزولي است. ياداوري – تساوي در رابطه‌ي 5 زماني محقق مي‌شود كه داشته باشيم:
(رابطه‌ي 6) رابطه‌ي كلي و معادل اين تعريف آن است كه دنبالهي «اعداد حقيقي» بر روي دنبالهي نزولي است اگر براي همه‌ي اعداد حقيقي .gif) داشته باشيم:
(رابطه‌ي 7)
فرض كنيد تابع .gif) تابعي «محدب» باشد. براي هر .gif) هم‌چنين براي هر عدد حقيقي غيرمنفي نظير: .gif) داريم:
(رابطه‌ي 8)
ياداوري - اگر تابع «مقعر» باشد جهت نامساوي عوض مي‌شود.
| قضيه‌ي «ميانگين توان وزن‌دار» (Weighted Power Mean) |
اگر .gif) اعدادي حقيقي غيرمنفي بوده و اعدادي حقيقي غيرمنفي باشد كه جمع آن مثبت است در اين‌صورت تابع ذيل از متغير .gif) غيرنزولي خواهد بود:
(رابطه‌ي 9)
با اين قرارداد كه مقدار تابع .gif) در .gif) «ميانگين توان وزن‌دار» (Weighted Power Mean) است. تابع «اكيداً صعودي» است مگر همه‌ي مقادير .gif) كه برابر باشند هم‌چنين به‌استثناي مقاديري از كه محتملاً در بازه‌ي .gif) قرار دارند. اگر بعضي از مقادير برابر «صفر» باشند تابع برابر «صفر» خواهد بود. به‌خصوص وقتي رابطه‌ي ذيل برقرار باشد «نامساوي‌ها در متوسط‌هاي حسابي و هندسي» (AM-GM-HM) به‌دست خواهد آمد:
(رابطه‌ي 10)
دنباله‌هايي را فرض كنيد كه شامل اعداد حقيقي غيرمنفي باشند:
هم‌چنين فرض كنيد .gif) اعداد حقيقي باشند كه جمع‌شان برابر 1 است. در اين صورت نامساوي ذيل برقرار خواهد بود:
(رابطه‌ي 11)
قضيه‌ي «كوشي» (Cauchy) همان قضيه‌ي «هولدر» (Holder) است با فرض وجود دو دنباله.
| قضيه‌ي «آرايش مجدد» (Rearrangement) |
فرض كنيد دو دنبالهي ذيل شامل اعداد حقيقي غيرنزولي باشند:
و
در اين صورت براي هر جايگشت .gif) از .gif) نامساوي‌هاي ذيل را خواهيم داشت:
(رابطه‌ي 12)
تساوي ذيل زماني برقرار است كه دنبالهي .gif) به‌طور نسبي نزولي باشد:
(رابطه‌ي 13) تساوي ذيل زماني برقرار است كه دنبالهي به‌طور نسبي صعودي باشد:
(رابطه‌ي 14)
| قضيه‌ي «چبيشف» (Chebyshev) |
فرض كنيد دو دنبالهي ذيل شامل اعداد حقيقي غيرنزولي باشند:
و
در اين‌صورت نامساوي‌هاي ذيل برقرار خواهد بود:
(رابطه‌ي 15)
فرض كنيد .gif) ، .gif) و .gif) اعدادي غيرمنفي بوده و داشته باشيم:
(رابطه‌ي 16)
در اين‌صورت نامساوي ذيل برقرار خواهد بود:
(رابطه‌ي 17) تساوي در رابطه‌ي 17 زماني برقرار خواهد بود كه اگر و فقط اگر يكي از دو وضعيت ذيل را داشته باشيم:
| - .gif) | | يا | | - بعضي از مقادير .gif) برابر بوده يا با برابر صفر باشد. |
ياداوري – از آن‌جايي كه قضيه‌ي «شور» (Schur) به اين شكلي كه بيان شد شناخته شده نيست لذا هر موقع از اين قضيه استفاده مي‌كنيد حتماً بايد آن را اثبات نيز بكنيد. |