زنگ‌تفریح تصادفی

 زنگ‌تفریح‌های پربازدید
 آرشيو
 
 جمع‌ها و تفريق‌ها
جمع‌ها و تفريق‌هازنگ تفريح رياضي
زنگ تفريح شماره 72

مي‌خواهيم عبارت زير را حساب كنيم:

1002 – 992 + 982 – 972 + 962 - …. + 22 – 12

براي بدست آوردن حاصل اين عبارت، از فرمول x2 – y2 = (x +y)(x-y) استفاده مي‌كنيم و عبارت فوق را به صورت زير در مي‌آوريم:

(100 +99) (100 – 99) + (98 +97)(98 – 97) + (96 +95) (96 – 95) + … + (2 + 1)(2 – 1)

همانطور كه مي‌بينيد حاصل يكي از پرانتزها در هر عبارت برابر 1 مي‌شود. پس مي‌توانيم با ضرب پرانتزهاي باقي‌مانده در 1 به عبارت زير برسيم:

100 + 99 + 98 + 97 + 96 + … + 2 + 1

و مي‌دانيم حاصل عبارت بالا برابر 5050 مي‌شود.

حال مي‌توانيد الگوي تساوي‌هاي زير را پيدا كنيد؟

 

 

بياييد آخرين رابطه را ثابت كنيم تا به يك تنيجه كلي برسيم. اگر همه عبارت‌ها را به سمت راست ببريم و 362 را در سمت چپ تساوي نگه مي‌داريم كه مي‌شود:

362 = (412 – 402) + (422 – 392) + (432 – 382) + (442 – 372)

توجه كنيد كه ما بزرگترين و كوچكترين جمله را با هم جفت كرده‌ايم و به همين ترتيب بزرگ‌ترين جمله بعدي با كوچكترين جمله بعدي و ... . حالا از فرمول مربع‌ها استفاده مي‌كنيم و خواهيم داشت:

و در نهايت بدست آورديم كه

362 = 92 . 42 = 81.16

حالا مي‌توانيم جمله عمومي را بدست آوريم.

براي n>= 1 ادعا مي‌كنيم كه:

[n(2n+1)]2 + … + [2n(n+1)]2 = (2n2 + 2n +1)2 + … + (2n2 + 3n)2

همانند قبل كه همه جملات به غير از يكي را به يك طرف برديم، اگر اين كار را براي اين جمله نيز تكرار كنيم خواهيم داشت:

حال به فرمولي براي جمع n عدد فرد نياز داريم.

1 + 3 + 5 + 7 + … + 2n-1

ميدانيم كه اين برابر مجموع يك تصاعد حسابي است پس با توجه به شكل زير مي‌بينيم كه جواب اين جمع برابر n2 مي‌شود.

با استفاده از فرمول‌امان براي جمع n عدد فرد خواهيم داشت:

[n(2n+1)]2 = (2n +1)2 n2

كه كاملا درست است.

 

1389/5/22لينک مستقيم

نظر شما پس از تاييد در سايت قرار داده خواهد شد
نام :
پست الکترونيکي :
صفحه شخصي :
نظر:
تاییدانصراف
 
 المپياد رياضي

 

     

 

 

صفحه‌ي اصلي

     

 

راهنماي سايت

     

 

 

آموزش

     

 

بانك سوال

     

 

 

مسابقه

     

 

 

زنگ تفريح

     

 

 

مصاحبه و گزارش

     

 

 

معرفي كتاب

     

 

 

مشاوره

     

 

 

پرسش‌و‌پاسخ‌علمي

     

 

اخبار

     

 

فعاليت‌هاي علمي

 بازديدها
كاربران غيرعضو آنلاينكاربران غيرعضو آنلاين:  7623
 كاربران عضو آنلاين:  0
  کل كاربران آنلاين:  7623