حسابان درسی است که خیلی از دانش آموزان رشته ریاضی از آن گریزانند، علمی سرشار از داستان های زیبا و تاریخی که بدون آن زندگی ما، فرقی با 500 سال پیش نمیکرد.

همه دانش آموزان رشته ریاضی بعد از ورود به دبیرستان با درسی به نام حسابان آشنا می‌شوند. حسابان از آن درس‌هایی است که بیشتر بچه ها با ترس و لرز و شاید بی میلی با آن روبرو می شوند. مفاهیم عجیب و غریب و ظاهرا پیچیده ای مثل مشتق و انتگرال کلماتی هستند که ممکن است ترسناک به نظر برسند اما در واقع این طور نیست.

بشر امروزی به چند اتفاق و موضوع علمی آن قدر وابسته است که اگر آنها را از او بگیریم پیشرفتش بی معنا می شود. یکی از این موضوعات علمی حسابان است. در حقیقت اینها مفاهیمی هستند که ریاضیدانان از 2000 سال پیش به شکل ابتدایی از آنها استفاده کرده اند و تقریبا 300 سال از فرمول بندی شدن آنها می گذرد.

کافی است قبل از توجه به فرمول ها ابتدا به مفهوم کلی تر واژه هایی مثل مشتق و انتگرال دقت کنیم. اسم این درس هم از روی همین دو مفهوم گرفته شده است. حسابان یعنی دو حساب یا به معنی بهتر حساب دیفرانسیل و انتگرال، قدیمی‌ها می گفتند حساب جامع (انتگرال) و حساب فاضل (دیفرانسیل).

با فهمیدن این مفاهیم درک و استفاده از فرمول ها آسان تر می شوند. با هم نگاهی به این مفاهیم و تاریخچه جالب آنها می کنیم .

در سال 1684 «لایب  نیتس» با انتشار مقاله ای در باره حساب عناصر بی نهایت کوچک ، انقلابی برپا کرد. در این مقاله او برای توصیف یک پدیده پیچیده آن را به بی نهایت کوچک و ساده تقسیم کرد. مثلا یک منحنی را مرکب از بی نهایت پاره خط راست که بی نهایت کوچک و ساده بودند در نظر می گرفت و آن را به این وسیله توصیف می کرد.

«لایب نیتس» در این مقاله نشان داد که اگر می خواهید کمیتی مثل حرارت را مطالعه کنید که از مقداری معین تا مقداری دیگر تغییر می کند، باید نشان دهید این تغییرات از بی نهایت تغییر کوچک  تشکیل شده. آن وقت باید آن بی نهایت تغییر کوچک را با هم جمع بزنید. او این تغییرات جزیی را دیفرانسیل و مجموع آنها را انتگرال نامید. وارد شدن حساب عناصر بی نهایت کوچک در قلمرو علم همچون هجوم توفان و یا موج مقاومت ناپذیری بود که به کلی دانش ریاضی را زیر و رو کرد. انتشار این مقاله باعث منازعه ای بزرگ در دنیای علم شد که تا به امروز پابرجاست.

«نیوتن» گوشه گیر

دعوای تاریخ علم حسابان از آنجا شروع شد که «ایزاک نیوتن» برای توزیع معادلات حرکت، به صورت جداگانه ای از «لایب نیتس» علم حساب دیفرانسیل و انتگرال را ابداع کرد. او کارش را زودتر از «لایب نیتس» شروع کرد اما انتشار زودتر مقاله «لایب نیتس» باعث شد که این ابداع به نام او ثبت شود. امروز می دانیم که «نیوتن» در بین سالهای 1664 تا 1666 روش حساب دیفرانسیل و انتگرال را اختراع کرد، اما میل همیشگی او برای پنهان کردن اکتشافاتش، باعث شد «لایب نیتس» که دیرتر از او شروع به  مطالعه در این مورد کرده بود، زودتر مقاله اش را منتشر کند.

همین مساله باعث شد که «نیوتن» ادعا کند زودتر از «لایبنیتس» این معادلات را کشف کرده است و «لایب نیتس» معادلات او را دزدیده است. این منازعه آن قدر بالا گرفت تا هنگامی که «لایب نیتس» از آکادمی پادشاهی علوم انگلستان در خواست کرد، کمیته‌ای بی طرف برای بررسی این موضوع دست به کار شود، کمیته ای که رئیسش کسی نبود جز «نیوتن». او تعدادی از دوستان خود را برای این کار انتخاب کرد و در نتیجه «لایب نیتس» به دزدی محکوم شد. اما امروز می دانیم که آنها جداگانه این معادلات را صورت بندی کرده اند.

امروزه ریاضیدانان از علائم پیشنهادی «لایب نیتس» برای دیفرانسیل استفاده می کنند و در حالیکه فیزیکدانان به پشتیبانی از «نیوتن» علائم او را به کار می برند. این معادلات برای توصیف دقیق ریاضی از پدیده ها و اتفاقات فیزیکی و غیرفیزیکی کاربرد دارند.

پارامترهای توصیف ریاضی

وقتی صحبت از توصیف دقیق ریاضی می شود باید بدانیم که چه کمیت هایی یک پدیده را به دقت توصیف می کند. مثلا وقتی صحبت از یک جسم متحرک می شود، ما باید بدانیم چه کمیت هایی را درباره آن جسم بشناسیم تا بتوانیم تعریف دقیق از حرکت آن جسم داشته باشیم. مثلا باید بگوییم توپ فوتبال در این نقطه چه سرعتی داشته و در کدام جهت حرکت می کند. البته کمیت های دیگری هم وجود دارد که به توصیف دقیق تر ای حرکت توپ فوتبال کمک میکند. مثلا سرعت آن در حال کم یا زیاد شدن است و این تغییر با چه روندی انجام می شود ( شتاب) همه این کمیت‌ها مفاهیم فیزیکی هستند که حتما با آنها آشنا هستید.

اما این کار به چه وسیله ای انجام می شود؟ همان طور که گفته شد برای توصیف حرکت یک پدیده باید حرکات آن را در هر لحظه بررسی کرد و آن را به تعداد بی نهایت حرکت ریز تقسیم کرد. برای این کار از حساب دیفرانسیل یا مشتق گیری استفاده می شود. وقتی شما معادله حرکت یک جسم را بدست آوريد می توانید با استفاده از مشتق گیری سرعت وشتاب آن را در نقطه ای معین به دست بیاورید. یعنی به جای بررسی کل یک پدیده آن را به جزئیات ریز تقسیم کرده و آن را بررسی کنید.

همین طور می توانید شیب خط مماس بر منحنی حرکت را تعیین کنید که نشان دهنده راستای حرکت جسم است. یعنی یک حرکت را به تعداد بی نهایت حرکت کوچک در حد جابجایی به اندازه یک نقطه تقسیم میکنیم. حالا اگر این بی نهایت نقطه یا حرکت تقسیم شده را داشته باشیم آن وقت می شود آنها را کنار هم قرار داد تا معادله کلی حرکت به دست آید. به این کار «انتگرال گیری» گفته می‌شود.

مثلا با انتگرال گیری از معادله سرعت یک جسم می شود به معادله مکان دست پیدا کرد. اینها نمونه هایی اندک و پیش پاافتاده ای از کاربردهای این علم هستند. کاربرد های علم حسابان به قدری زیاد است که حتی دامنه اش به جامعه شناسی و پزشکی هم می رسد.