حدس گلدباخ

«انگاره‌ی گلدباخ» (حدس گلدباخ) از جمله معروف‌ترین مسایل حل نشده‌ی ریاضیات می‌باشد. برای درک این مساله تنها کافیست با مفهوم اعداد اول آشنا باشید. این انگاره چنین است
هر عدد صحیح زوج بزرگ‌تر از 2 حاصل‌جمع دو عدد اول است.

تعریفی دیگر از عدد اول این طور است که در اینجا به آن اشاره می کنیم : عدد طبیعی  p>1,pرا اول می نامند به شرطی که تنها مقسوم علیه های مثبت آن 1وp  باشند. اگرعددی طبیعی وبزرگتر از 1 اول نباشد مرکب است.   

قضیه 1: تعداد اعداد اول نامتناهی است.

آیا می توانید اثبات کنید که بینهایت عدد اول داریم؟

برهان: اول از همه باید بدانیم که اعداد طبیعی که تعداد آنها بینهایت است یا عددی اول هستند و یا اینکه حاصل ضربی از اعداد اول می باشند و از این دو حالت خارج نیست. حالا می خواهیم اثبات کنیم که تعداد اعداد اول بینهایت است. برای این کار از برهان خلف استفاده می کنیم یعنی فرض می کنیم اعداد اول متناهی هستند.حالا فرض می کنیم اعداد اولی که گفتیم تعداد آنها بینهایت نیست عبارتند از:  P1وP2وP3و.....وPn

همان طور که قبلا گفتیم اعداد طبیعی یا عددی اول هستند و یا اینکه حاصل ضربی از اعداد اول می باشند(غیر از عدد یک) و از این دو حالت خارج نیست و به عبارتی حاصل ضرب همه اعداد اول فرض شده ی بالا به اضافه ی یک بر هیچ یک از اون اعداد اول بخشپذیر نیست و این ممکن نیست که عددی وجود داشته باشد که نه اول باشد و نه حاصل ضربی از اعداد اول و به عبارتی به یک چیز نا ممکن رسیدیم، پس فرض مسئله اشتباه است و به عبارتی بینهایت عدد اول داریم.

خلاصه بحث: حکم را به روشی که منسوب به اقلیدس است اثبات می کنیم: فرض کنید تعداد اعداد اول متناهی و تعداد آنها n تا باشد . حال عدد M را که برابر حاصلضرب این اعداد به علاوه ی 1 را در نظر بگیرید. این عدد مقسوم علیهی غیر از آن n عدد دارد که با فرض در تناقض است. (البته شایان ذکر است که این قضیه اثبات های گوناگونی دارد که ما ساده ترین آنها را انتخاب کردیم اگر مایلید می توانید اثبات های دیگر آن را بیاورید).

قضیه 2:قضیه ی اساسی حساب: هر عدد طبیعی بزرگتر از 1 را به شکل حاصلضرب اعدادی اول نوشت.

قضیه 3: قضیه چپیشف: اگر n عددی طبیعی و بزرگتر از 2 باشد, حتما" بین n و 2n  عدد اولی وجود دارد.

تاریخچه

«گلدباخ» (1690 – 1764) به خاطر این حدس که آن را در سال 1742 در نامه‌ای به اویلر مطرح کرد، نامش در تاریخ ریاضیات باقی مانده است. او ملاحظه کرد در هر موردی که امتحان می‌کند، هر عدد زوج را (به جز 2 و 5) می‌توان به صورت مجموع سه عدد اول نوشت.اویلر حدس گلدباخ را تعمیم داد به طوری‌که هر عدد زوج بزرگ‌تر از 2 را می‌توان به صورت مجموع دو عدد اول نوشت. مثلاً :

4=2+2 , 6=3+3 , 8=5+3 , 10=5+5 , 12=5+7 , 14=7+7 , 16=13+3 , 18=11+7 , 20=13+7 ,

… , 48 = 29 +19 , … , 100 = 97 + 3 , …

«گلدباخ» از «اویلر» پرسید که آیا می‌تواند این مطلب را برای همه عددهای زوج ثابت کند و یا اینکه مثال نقضی برای آن بیابد؟ شواهد تجربی در تایید اینکه هر عدد زوج به این صورت قابل نمایش است، کاملاً قانع‌کننده است و هر کسی می‌تواند با امتحان کردن چند عدد زوج، این موضوع را تحقیق کند. منشأ دشواری در این است که عددهای اول بر حسب ضرب تعریف می‌شوند در حالی که این مسأله با جمع سروکار دارد. به طور کلی، اثبات رابطه بین ویژگیهای ضربی و جمعی اعداد صحیح کار مشکلی است.

قضيه بنيادي حساب: هر عدد بزرگتر از 1 حاصلضربِ يگانه اي از اعداد اول است.  مثال:

بعبارتي ديگر اعداد اول عنصرهائي  است كه از ضرب آنها در يكديگر همه اعداد ساخته مي شود .  نقش  بنيادي و اساسي اعداد اول مانند نقش حروف الفبا  برای ساختن كلمات و  نقش اتم ها  براي ساخت مولكولها است.

حدس گلدباخ يا «Goldbach Conjecture» در سه قرن اخير اثبات يا رد نشده  و كوششهاي جهاني براي اثبات يا رد آن ادامه دارد.

قضيه  1:اگر عددي در دو عدد ديگر بگنجد، در تفاضل آنها نيز ميگنجد.  مثال: عدد 3 در دو عدد 6 و 15 مي گنجد. در نتيجه در تفاضل ايندو يعني  9 نيز مي گنجد.

«اقليدس» در 2300 سال قبل، با روش برهان خلف  اثبات كرد كه تعداد اعداد اول بينهايت است. در روش برهان خلف  كارمان را با يك فرض آغاز مي كنيم و بعد با عمليات و استدلال هاي حساب كارميكنيم  و اگر به تناقض برخورد كنيم  آن فرض  اوليه نقض شده و خلاف آن فرض را مي پذيريم.

فرض كنيم  ليست يا مجموعه اعداد اول يك مجموعه متناهي و شامل  n  عدد اول   p1, p2, p3, ..., pn  باشد.  نشان خواهيم داد كه  اعداد اول ديگري وجود دارند كه در اين مجموعه نيستند  و چون با فرض ما تناقض دارد لذا مجموعه اعداد اول يك مجموعه نامتناهي است.  باين منظور با افزودن 1 به  حاصلضرب همه اعداد اول مجموعه،  عدد ديگري بدست مي آيد كه  Q مي ناميم:

Q = p1.p2.p3.p4  و   pn + 1

Q جزو مجموعه نيست و بر هيچيك از اعداد مجموعه  نيز قابل قسمت نيست.

عدد  Q  از دو حالت خارج نيست:

اگر  اول باشد،  عدد اولي يافته ايم كه جزو  مجموعه نيست و در اينحالت فرض ما در باره متناهي بودن مجموعه اعداد اول نقض مي شود

اگر اول نباشد، آنگاه  بايد به عدد اولي  كه a  مي ناميم  قابل تقسيم باشد ولي اين a نمي تواند  يكي از اعداد مجموعه باشد زيرا در آنصورت  هم  در Q = p1.p2.p3.p4  و   pn + 1  مي گنجد و هم در  p1.p2.p3.p4  ...   pn وبنا به قضيه 1 بالا، بايد در تفاضل آنها يعني 1 نيز بگنجد كه ناممكن است و در اينحالت نيز فرض ما در باره متناهي بودن مجموعه اعداداول نقض مي شود.

پس خلاف فرض اوليه را مي پذيريم، يعني :مجموعه اعداد اول نامتناهي است.

روش «لئونارد اويلر»  رياضيدان سويسي براي اثبات نامتناهي بودن اعداد اول مبتني بر «قضیه بنیادی حساب» است كه در بالا بيان شد.

اگر مجموعه اعداد اول را با P  و هر يك از اعداد اول را با p و هر يك از اعداد طبيعي را با n نشان دهيم،  اويلر چنين فشرده و پر معنا نوشت :

كه در آن Π به معناي حاصلضرب است و Σ به معناي حاصلجمع است.  فرمول اويلر دشوار نيست و با توجه به بسط آن در زير روشنتر مي شود.

اگر عبارت سمت راست و سمت چپ آنرا بسط دهيم به اين شكل ساده تر در مي آيد كه بطور كلي ديده مي شود حاصلضرب هاي سمت چپ مساوي است با حاصلجمع هاي سمت راست. در سمت راست از همه اعداد صحيح مثبت استفاده شده و در سمت چپ از همه اعداد اول.

حاصلجمع سمت راست معادله كه سري هارمونيك نام دارد بينهايت است و در نتيجه سمت چپ نيز بينهايت خواهد بود. ولي چون يكايك كسرهائي كه در هم ضرب مي شوند مقادير معيني ميباشند پس بايد تعداد كسرها  بينهايت باشد تا حاصلضربشان بينهايت گردد و چون هر جزء داراي يك عدد اول است پس تعداد اعداد اول نيز بينهايت خواهد بود.