در جهان امروز که مخابرات جایگاهی کلیدی دارد، رمز نگاری ترفند عمده ای است. این موضوع که به دانش پیچیده ای تبدیل شده است، نمی تواند از ریاضیدانان در سطح بسیار عالی بی نیاز باشد.
در مارس 2000، عنوان درشتی به مضمون زیر، صفحه اول روزنامه هارا پر کرد: « اعلام خطر در مورد ایمنی کارت های بانکی».
در فرانسه رازداری کارت های مورد بحث از 1985، به کمک یک روش کدگذاری انجام می شد که در آن یک عدد بزرگ N با 97 رقم دخالت می کرد. این عدد N می بایست حاصلضرب دو عدد اول بزرگ باشد، یعنی حاصلضرب دو عدد مانند 7 و 19 که جز بر 1 و خود بر هیچ عدد دیگری بخشپذیر نیستند. راز یک کارت بانکی دقیقا از این دو عدد تشکیل می شود.
 در دهه 1980 محاسبه آنها با شروع از N عملا غیر ممکن بود. اما با افزایش توان رایانه ها و با بهبود روش های ریاضی، در سالهای آخر قرن، اندازه اعدادی که می توان عامل های اول آنها را در زمانی معقول محاسبه کرد از صد رقم هم گذشت. یک ترفند باز متخصص در دانش اطلاعات توانست دو عدد اولی را که حاصلضرب آنها N است را تشخیص دهد و از آنها برای ساختن کارت های جدید استفاده کرد. از این رو برای آنکه ایمنی کارت های پلاستیک کوچک ما تضمین شود سازمان مسئول اداره این کارت های بانکی بی درنگ اعداد جدید Nای ساخت که آشکارا خیلی بزرگترند.
این حادثه روشنگر آنست که دانش کد گذاری پیامها که برای اشخاص فضول غیر قابل خواندن شوند، از چه اهمیت قابل توجهی برخوردار است. رمز گذاری و رمز گشایی پیام های محرمانه فعالیتی با دیرینه چند قرن و یا حتی چند هزاره است. این فعالیت دیگر منحصر به محدوده دیپلماتیک و نظامی نیس و دنیای مخابرات را کاملا فرا گرفته است.

رمزنگاری به دانشی پیچیده تبدیل شده است که ترقیات آن محصول کار متخصصین با آموزش های سطح بالایی در ریاضیات و دانش اطلاعات است. این جنبه تخصصی از جنگ جهانی دوم آشکار شده است. امروز می دانیم که شکستن رمز و خواندن پیامهایی که آلمانیها با ماشین های انیگمای خود کد گذاری کرده بودند، چه نقش تعیین کننده ای در سرنوشت این جنگ برای متفقین داشت. وانگهی ریاضیدان برجسته بریتانیایی «آلن تورینگ» که یکی از پدران علوم کامپیوتر نظری نیز هست، سهمی اساسی در این رمزگشایی ایفا نمود.
در سال های 1970 رمز نگاری شاهد تحول کوچکی شد: اختراع رمزنگاری با (کلید عمومی) به وسیله RSA. موضوع این ماجرا چیست؟
تا آن زمان طرف های خواهان تبادل پیام می بایست یک کلید محرمانه در اختیار داشته باشند، اما خطر لو رفتن این کلید خیلی زیاد بود. قرارداد RSA که نام آن از نام سه مخترع آن (رونالد ریوست، آدی شامیر و لئونارد آدلمن) گرفته شده است، این مشکل را برطرف کرد. در این روش از دو کلید استفاده می شود: یک کلید، رمز گذاری عمومی است که همه می توانند آن را بشناسند و یک کلید رمز گشاست که محرمانه باقی خواهد ماند. این روش، متکی بر این اساس است که می توان اعداد اول بزرگی (با صد رقم، هزار رقم و یا بیشتر) ساخت، یافتن عوامل اول p  و q از روی یک عدد بزرگ N = p * q بسیار مشکل است، همان گونه که در مورد کارت های بانکی هم به این روش اشاره کردیم. اجمالا، شناخت عدد N به منزله شناخت کلید عمومی رمزنگاری است، درحالیکه شناخت p و q در حکم شناخت کلید محرمانه رمزگشاست.
البته اگر کسی می توانست روشی برای تجزیه سریع اعداد بزرگ به عوامل اول آن بیابد، آنگاه پروتکل RSA از دور خارج می شد. اما این امکان هم وجود دارد که ریاضیدانان ثابت کنند چنین روشی وجود ندارد. در این صورت ایمنی پروتکل RSA تقویت هم می شود. در این موارد با موضوع هایی قطعی برای پژوهش سر و کار داریم. روش هایی که مانند پروتکل RSA، نظریه اعداد را در سطح پیشرفته ای دخالت می دهند، مطلب مهمی به ما می آموزند: پژوهش هایی با نهایت خلوص و بدون منافع مادی در ریاضیات انجام شده اند که سالها و گاها دهها سال بعد به گونه ای غیر قابل پیش بینی برای کاربردی جنبه حیاتی یافته اند.

 خم های بیضوی

آنچه گفتیم منحصر به نظریه اعداد نیستحوزه های دیگری در ریاضیات که پیش از این می پنداشتند هیچگونه کاربردی ندارند، در دانش رمز گذاری سهیم اند. در سال های اخیر روش های امید بخشی در رمزنگاری ظاهر شده اند که بر اصولی نزدیک به اصول پروتکل RSA متکی هستند. یکی از این روش ها همان است که به نام روش لگاریتم گسسته نامیده می شود. این روش هم به نوبه خود موجب شد به فکر روش های دیگری باشندکه بر ویژگی های خم های بیضوی بنا می شوند. این خم ها به شکل بیضی نستند بلکه خم هایی هستند که مطالعه آنها در قرن 19، در جهت حل مساله پیچیده محاسبه محیط بیضی آغاز شد. این خم ها که مختصات (x,y) یک نقطه آنها در معادله y^2=x^3+ ax+b  صدق می کنند، ویژگی های جالبی دارند که بررسی آنها جزء هندسه جبری است، که خود حزه وسیعی در ریاضیات فعلی است. به طور کلی خم های بیضوی که اشیائی هندسی هستند، دارای ویژگی های حسابی هستند که می تواند  مورد استفاده در رمزنگاری قرار گیرد. به همین گونه است که یک روش رمزنگاری موسوم به لگاریتم گسسته روی خم های بیضوی،تاسیس و گسترده شده است.
 در کنگره بین المللی ریاضیدانان 1998 در برلین پیتر شور از آزمایشگاه AT&T،موفق به دریافت جایزه نوانلینا به خاطر کارهایش روی رمزنگاری کوانتیک گردید. معنای این اصطلاح چیست؟ چند سال پیش، ریاضیدانان و فیزیکدانان به فکر افتادند که شاید بشودیک روز رایانه ای کوانتیک ساخت، یعنی رایانه ای که کارش بر مبنای قوانین عجیب و غریب فیزیک کوانتومی باشد، قوانینی که بر دنیای بی نهایت کوچک حاکم اند. متوجه شده اند که اگر این ساخت تحقق یابد، آمگاه چنین رایانه ای قادر خواهد بود اعداد بزرگ را تجزیه کند و بدین ترتیب کارآیی روش RSA را از بین می برد. از سوی دیگر، محققین به پروتکل هایی برای رمزنگاری کوانتیک پیروی می کنند. این پروتکل های کوانتیک به شرط تحقق، ضامن ایمنی بدون چون و چرا خواهند بود. همه این مسایل در دست بررسی است و امکان دارد ظرف چند سال آینده به شکل عملی درآید.