هندسه فراکتالی یا هندسه فرکتال ها پدیده ایست که چندی پیش پا به دنیای ریاضیات گذاشت. پیش از اینکه مندلبورت این واژه را ابداع کند، برای چنین اشکالی، از واژه «منحنی های هیولایی» استفاده می شد. واژه فراکتال مشتق گرفته شده از واژه لاتینی فراکتوس به معنای سنگ است که به شکل نامنظم شکسته و خرد شده. که در سال 1976 توسط ریاضیدان لهستانی به نام بنوئیت مندلبرات وارد دنیای ریاضیات شد.
او در سال 1987 پرفسوری خود را در رشته ریاضیات گرفت.
مندلبرات وقتی که بر روی تحقیق پیرامون طول سواحل انگلیس مطالعه می نمود به این نتیجه رسید که هرگاه با مقیاس بزرگ این طول اندازه گرفته شود بیشتر از زمانی است که مقیاس کوچکتر باشد.
فرهنگستان زبان هم واژه بر خال را تصویب کرده و همچنین برای واژه فرکتالی واژه برخالی را تصویب کرده است.
واژه فرکتال به معنای سنگی است که به شکل نامنظم شکسته شده باشد.
تئوریسین فراکتال ها
بنویت مندلبورت نظریه پرداز هندسه برخالی (فراکتالی) است. وی در سال 1924 در لهستان به دنیا آمد. پدر او دستفروش لباس های دست دوم بود و مادرش پزشکی می کرد. او مبانی ریاضیات را از دو عموی خود فراگرفت و به همراه خانواده خود در سال 1936 به فرانسه مهاجرت کرد. در آنجا با کمک یکی دیگر از عموهایش پروفسور ریاضیات بود اقامت فرانسه را گرفتند.
این مهاجرت باعث شد تا وی بیشتر به ریاضیات علاقمند شود اما جنگ جهانی دوم شروع شده بود و مندلبورت هراس این را داشت که نتواند به ریاضیات بپردازد. درباره او می گویند: «جنگ،تنگدستی و نیاز به زندگی او را از مدرسه و تحصیل دور کرد و به همین دلیل بود که او را حداکثر یک معلم دبیرستانی خودآموز خوب می دانستند.»
عدم تحصیل دانشگاهی برای او یک مزیت بود چرا که او دیگر به پدیده های هستی به چشم یک ریاضیدان یا دانشمند دانشگاهی نمی نگریست، این طرز آموزش همچنین به وی فرصت داد تا روشهای بسیار جالبی برای استفاده از هندسه در ریاضیات ابداع کند. تبوغ ذاتی او در هندسه باعث شد تا بتواند بسیاری از مسائل ریاضی را با روشهای هندسی حل کند. او در سال 1944 فرصت آنرا یافت تا در آزمون پلی تکنیک شرکت کند و توانست بسهولت قبول شود و این سرآغاز تحصیلات جدی وی بود. پس از پایان تحصیلات (دریافت دکترا به امریکا رفت و در بنیاد مطالعات پیشرفته پرینستون مشغول به فعالیت شد.
پس از ده سال دوباره به پاریس بازگشت و شروع به کار برای مرکز ملی پژوهشهای علمی فرانسه نمود. طولی نکشید که ازدواج کرد و دوباره به امریکا برگشت و در آنجا با شرکت IBM آغاز به همکاری نمود. وی همواره از این موضوع صحبت می کند که در IBM چقدر آزاد است و می تواند روی هر پروژه ای کارکند و فرصتی که IBM در اختیار او قرار داده است هیچ دانشگاهی نمی تواند به او بدهد.
از جمله اتفاقاتی که برای او رخ داد آشنایی وی با پژوهشهایی بود که پیشتر توسط گاستون مارایس جولیا در سال 1917 انجام شده بود. این پژوهش ها را عمویش در سال 1945 در اختیار او قرار داده بود اما وی تا سال 1970 آنها را جدی نمی گرفت. با توجه به تجاربی که او در زمینه رایانه در شرکت IBM کسب کرده بود و با توجه نگاه مجدد به پژ جولیا او توانست تئوری زیبای برخالها (فراکتال) را ارائه کند. تئوری برخالها علاوه بر زیبایی خاصی که از دید ریاضی دارد یکی از روشهای بسیار کاربردی در تفسیر و مدلسازی طبیعت می باشند. آشنایی با برخالها به هنرمندان اجازه می دهند تا آثار هنری بسیار زیبایی را بیافرینند.
در کاربرد محاوره ای، یک فراکتال، یک شکل هندسی چند پاره یا ناهموار است که می تواند به بخشهایی تقسیم شود که هرکدام از آنها (حداقل به طور تقریبی) یک کپی کاهش یافته از لحاظ اندازه، از کل می باشد. این اصطلاح در سال 1975 توسط بنوا مندلبرات ابداع شده و از واژه لاتین fractus به معنی شکسته یا گسیخته مشتق شده است.
یک فراکتال به عنوان یک شکل هندسی، به طور کلی خصوصیات زیر را داراست:
• دارای ساختاری ظریف در مقیاسهای کوچک دلخواه است.
• بی قاعده تر از آن است که با زبان سنتی هندسه اقلیدسی، به سادگی توصیف شود.
• خود مشابه است (حداقل به طور تقریبی یا تصادفی).
• دارای بعد Hausdroff است که بزرگتر از بعد مکانی(توپولوژیک) آن است (گرچه این شرط توسط منحنی های پرکننده فضا مانند منحنی هیلبرت برآورده نمی شود).
• دارای یک تعریف ساده و بازگشتی می باشد.
از آنجاییکه فراکتالها در تمام سطوح بزرگنمایی،مشابه به نظر می رسند، فرض می شود که به طور نامحدودی پیچیده اند(در اصطلاح غیر رسمی). اشیای طبیعی که تا حدودی به فراکتالها تقریب زده می شوند عبارتند از: ابرها، رشته کوهها، صاعقه، خطوط ساحلی و برفدانه ها با این حال، تمام اشیای خود مشابه فراکتال نیستند. برای مثال خط حقیقی (یک خط راست اقلیدسی) ظاهرا خود مشابه است اما سایر مشخصات فراکتال را دارا نیست.