زنگ تفریح شماره 108
ابعاد فراکتال ها
یکی از نکات بسیار جالب در بررسی فراکتال ها، بعد آنهاست. مثلا می دانیم که مربع یک شی ریاضی دو بعدی است. این بعد دوم را می توان اینگونه به دست آورد که از تقسیم هر ضلع مربع به N قسمت مساوی و وصل کردن نقاط رو به رو به هم، N2 مربع به دست می آید که اندازه هرکدام N2 / 1 برابر مساحت مربع اولی است. این شکل، یک ساختار فراکتالی دارد که هر ضلع مربع های کوچک با ضریب N به اندازه ضلع مربع اصلی تبدیل می شود. بنابراین بعد هر جسم را می توان اینگونه تعریف کرد: نسبت لگاریتم تعداد اشکال خود متشابه به لگاریتم عامل بزرگنمایی log N2/log N=2=D
حال اگر همین کار را با مجموعه کانتور انجام دهیم چون با دو مجموعه کانتور به طول 3 برابر مجموعه های اولی ساخت داریم:
D = log 2 / log 3 = 0/631
یعنی یک مجموعه کانتور،موجودی 0.631 بعدی است.
حال اگر به شکل مجموعه کانتور نگاه کنیم ما می بینیم که این مجموعه نه یک خط کامل است که بعد یک داشته باشد و نه یک نقطه که بعد صفر داشته باشد بلکه موجودی بین آن دو است.
برای فراکتال کخ که بیشتر از خط (بعد1) و کمتر از صفحه (بعد2) است،داریم: D = log 4/log 3=1/262
یا برای فراکتال سرپینسکی که فضای بیشتری را نسبت به فراکتال کخ می پوشاند، اما به یک صفحه کامل نمی رسد، داریم:
D = log3 / log2 = 1/58
در فراکتال ها این بعد فراکتالی است که مهم است و نه مقیاس. زیرا در هر اندازه ای، این بعد فراکتالی حفظ می شود و بیانگر خاصیت اصلی فراکتال است. همین امر کاربرد فراکتال ها را در علم امروزی زیاد کرده است. در کیهان شناسی، ساختار یک کهکشان با یک خوشه کهکشانی (مجموعه ای از هزاران کهکشان) و یک خوشه نیز با یک ابر خوشه (مجموعه ای از هزاران خوشه کهکشانی) قابل قیاس است. رشد نمونه های میکروبیولوژیکی در محیط های کشت و یا نحوه کارکردهای پلیمرهای صنعتی (مثل لاستیک ها) و پلیمرهای حیاتی (مثل DNA و پروتئین ها) از مواردی هستند که دانش فراکتال ها را می توان در آنها به کار برد.
ایجاد فراکتال
سه تکنیک معمول برای ساخت فراکتال عبارتند از:
فراکتالهای زمان گریز: این فراکتالها با یک رابطه بازگشتی در هر نقطه در فضا تعریف می شوند (مانند صفحه مختلط). مثالهایی از این نوع عبارتند از مجموعه مندلبرات، مجموعه جولیا و فراکتال کشتی شعله ور و فراکتال لیاپونوف.
سیستم توابع تکراری: این فراکتالها یک قاعده جایگزینی هندسی ثابت دارند. مجموعه کانتور، فرش سیر پینسکی، منحنی پینو، برفدانه کخ، مربع T، اسفنج منگر برخی از مثالهای این نوع فراکتال هستند.
فراکتالهای تصادفی: به جای فراینهای قطعی، با فرایندهای تصادفی ساخته می شوند.
طبقه بندی فراکتال ها
فراکتالها می توانند بر حسب خود تشابهیشان نیز طبقه بندی شوند. سه نوع خود تشابهی در فراکتالها یافته می شود:
خود تشابهی های دقیق (کامل): قویترین نوع خود تشابهی است، فراکتال در مقیاسهای مختلف یکسان ظاهر می شود. فراکتال های تعریف شده به وسیله سیستم توابع تکراری، اغلب خود تشابهی دقیق را نشان می دهند.
شبه خود تشابهی ( نیمه خود تشابهی): یک حالت ناکامل از خودتشابهی است، فراکتال در مقیاسهای مختلف، تقریبا (نه دقیقا) یکسان ظاهر می شود. فراکتالهای تعریف شده به وسیله روابط بازگشتی، معمولا شبه خودتشابهند ولی خود تشابه کامل نیستند.
خود تشابهی آماری: ضعیفترین نوع خود تشابهی است، فراکتال اندازه های عددی یا آماری دارد که در سرتاسر مقیاسها حفظ می شوند. بیشتر تعاریف عوامانه متعارف فراکتال، بر شکلی از خودتشابهی آماری دلالت می کند.
فراکتالهای تصادفی نمونه ای از فراکتالهایی هستند که به شکل آماری خودمشابه هستند، اما خودمشابه کامل یا شبه خود مشابه نیستند.
فراکتال یک شکل یا الگوی هندسی ساخته شده از قسمت های یکسان است که در برگشت به داخل جزئیات نشان دهنده الگوی کلی است.
به عبارت دیگر به هر جز از شی که نگاه کنیم تصوری از کل شی در ذهن ما ایجاد می شود. واژه فراکتال در سال 1975 توسط بنویت مندلبرات برای توصیف اشیا هندسی پیچیده که درجه بالایی از خودتشابه دارد تشکیل شده است.
واحد اساسی برفدانه کخ که توسط هلگ ون کخ ریاضیدان (1870-1824) رسم شده مثلث متساوی الاضلاعی است که می تواند وسعت پیدا کند اما در عین حال هنوز شبیه الگوی اولیه است. هر قسمت از برفدانه در هر مقیاس از آن که دیده می شود به طور یکنواخت در کنارهم واقع شده اند. بعضی از فراکتالهای فوق العاده قابل ملاحظه مجموعه های جولیا است که توسط ریاضیدان فرانسوی گالتون جولیلا اختراع شد. مجموعه جولیا با کاربرد قانون غیر خطی مکرر تولید می شود که براساس یک تابع قانون مربغی خیلی ساده است.
F(C) = 2Z + CZ
که در آن Z یک نقطه روی صفحه Xoy است و C یک نقطه ثابت با هر دو مولفه X و Y است. CX و CY نتایج خیلی جالب و شگفت انگیز بودند. هیچکس گمان نمی کرد که چنین تابع ساده ای بتواند به شکل گیری تصاویر پیچیده ای که تحلیل و تفسیر آن کار آسانی نیست منجر شود.
نظریه ریاضی مدرن که به طور ریشه ای از هندسه اقلیدسی باستانی جدا می شود، هندسه فراکتالی است که به توصیف اشیائی می پردازد که خود متشابه یا متقارن اند. این بدان معناست که وقتی این اشیا بزرگنمایی شوند به نظر می رسد که بین اجزای آنها تشابه دقیقی برقرار است و این شباهت جزء به جزء تا بینهایت ادامه می دهند.
اما ماهیت فراکتالها که در واقع در خود کلمه منعکس شده، این واژه توسط مندلبرات ریاضیدان از فعل لاتین شکستن گرفته شده و منسوب به صفت فراکتوس به معنی سنگی که به طور نامنظم شکسته و خرد شده است می باشد.
فراکتالها شکلهایی هستند که برعکس شکهای هندسی اقلیدسی به هیچ وجه منظم نیستند. این شکلها اولا سراسر نامنظم اند، ثانیا میزان بی نظمی آنها در همه مقیاس ها یکسان است.
