زنگ تفریح شماره 109
تولید اشکال فراکتالی
اشکال فراکتالی معمولا به کمک توابع بازگشتی تولید می شوند.
مثلا تابع بازگشتی f(n) = f(n) 2+c یا f(n) = f(n) * f(n) + c یک تابع فراکتال است. این معادله به خصوص یک فراکتال معروف، موسوم به مجموعه جولیا را تشکیل می دهد. در این معادله c یک عدد مختلط (شامل یک عدد موهومی) است که می تواند هر مقداری باشد و نتیجه آن یک مجموعه جولیای متفاوت باشد. n به جای مختصات نقطه قرار می گیرد این موضوع را در نظر داشته باشید زیرا به زودی به آن باز می گردیم. این مختصات ویژه هستند زیرا همان طور که حدس زدید اعداد موهومی را در بر می گیرند. هنگامی که این مختصات (x,y) هستند، در هندسه فراکتال به صورت X + iY نشان داده می شوند. به عبارت دیگر، X مقداری ثابت و Y یک عدد موهومی است. از مختصات (X + iY) به جای n استفاده می کنیم. حالا می پرسید که این تابع چه طور نمودارهای بزرگ فراکتال را می سازد. در این صورت نتیجه یک تابع به جای اینکه یک خط شود، تنها یک نقطه را نمایش می دهد. که اگر ما به تعریف یک نقطه نگاه کنیم، می تواند بی نهایت کوچک باشد، که بیان می کند چه طور می توان یک قسمت از یک فراکتال را بزرگ کرده و به فراکتال جدید کاملی برسیم. نقطه در مختصات n قرار دارد. البته فراکتالها بسیار رنگارنگ هستند. حالا این رنگ ها چه طور انتخاب می شوند؟ مثل هر چیز دیگر، نسبتا ساده است. ابتدا لازم است که یک نقطه را رنگ کنید، بیایید نقطه (2+1i) را در نظر بگیریم. برای مقدار c از (1+1i) استفاده می کنیم. به خاطر آورید که C می تواند هر عدد مختلطی باشد. حال این را در معادله قرار می دهیم.
f(n) = f(2+1i) = (2+1i)(2+1i) + (1+1i) = 2 * 2 + 2i + i2 + 1 + 1i = 5 + 5i – 1 = 4 + 5i (i2=-1)
الف) روی نمودار قرار نمی گیرد (مثال: در یک نمودار 10*10 مولفه های جدیدی که به دست می آیند (97 ، 234-) هستند.)
ب) هرگز نمودار را ترک نمی کند ( این قانون بعد از 200 بار تکرار، اگر نقطه باز هم روی نمودار باشد، صادق است.)
نحوه انتخاب رنگ به این صورت است که اگر نقطه بعد از یکبار تکرار نمودار را ترک کند، همان رنگ را دارد. تمام نقاطی که بعد از 2 تکرار نمودار را ترک می کنند، با یک رنگ مشخص نشان داده می شوند و هر نقطه ای که نمودار را هرگز ترک نکند با رنگ متمایز معمولا سیاه علامت گذاری می شود. بعد از انجام این فرایند، برای تمام نقاط داخل این صفحه، نتیجه ای نظیر این مجموعه جولیا می شود.
تابع f(x) = f(x-1) 2+c فراکتال دیگری را موسوم به مجموعه مندلبرات می سازد.
در بسیاری از حالات، 200 تکرار لازم است تا تنها یک نقطه تعیین شود. در اغلب کامپیوترها، معمولا تعداد نقاط برای یک فراکتال 200 ، 303 تاست. به همین دلیل است که برای محاسبه عملیات زیاد و دقت انجام آنها به کامپیوتر نیاز داریم. فراکتالها تصویری از یک زندگی واقعی دارند. کامپیوترها می توانند یک شکل واقعی را بگیرند و با انجام تکرار زیاد به آن شکل تخیلی بدهند. این روزها از فراکتال ها به عنوان یکی از ابزارهای مهم در گرافیک رایانه ای نام می برند، اما هنگام پیدایش این مفهوم جدید بیشترین نقش را در فشرده سازی فایلهای تصویری بازی کردند. این ها مختصات جدید ما هستند. به یاد آورید که اگر یک مجموعه از مختصات را در یک تابع قرار دهید، نتیجه یک مجموعه جدید از مختصات است. 4 + 5i مجموعه مختصات جدید است. هنوز کار تمام نشده است،
عمل بالا یک تکرار را نشان می دهد.
الگوهای رویش برخالی
ایده خود متشابه در اصل توسط لایبنیتس بسط داده شد. او حتی بسیاری از جزییات را حل کرد. در سال 1872 کارل وایر شتراس مثالی از تابعی را پیدا کرد با ویژگیهای غیر بصری که در همه جا .پیوسته بود ولی در هرجا مشتق پذیر نبود. گراف این تابع اکنون برخال نامیده می شود. در سال 1904 هلگه فون کخ به همراه خلاصه ای از تعریف تحلیلی وایرشتراس، تعریف هندسی تری از تابع متشابه ارائه داد که حالا به برفدانه کخ معروف است. در سال 1915 واکلو سرپینسکی مثلثش را و سال بعد فرش اش (برخالی) را ساخت. ایده منحنیهای خود متشابه توسط پاول پیرلوی مطرح شد. او در مقاله اش در سال 1938 با عنوان «سطح یا منحنیهای فضایی و سطوحی شامل بخش های متشابه نسبت به کل» منحنی برخالی جدیدی را توصیف کرد، منحنی لوی.C گئورگ کانتور مثالی از زیر مجموعه های خط حقیقی با ویژگیهای معمول ارائه داد. این مجموعه های کانتور اکنون به عنوان برخال شناخته می شوند. اواخر قرن نوزدهم و اوایل قرن بیستم توابع تکرار شونده در سطح پیچیده توسط هانری پوانکاره، فلیکس کلاین، پیر فاتو و گاستون جولیا شناخته شده بودند. با این وجود بدون کمک گرافیک کامپیوتری آنها نسبت به نمایش زیبایی بسیاری از اشیایی که کشف کرده بودند، فاقد معنی بودند. در سال 1960بنوا مندلرو تحقیقاتی را در شناخت خود متشابه ای طی مقاله ای با عنوان «طول ساحل بریتانیا چقدر است؟ خود متشابه ای آماری و بعد کسری» آغاز کرد. این کارها بر اساس کارهای پیشین ریچاردسون استوار بود. در سال 1975 مندلبرو جهت مشخص کردن شیئی که بعد «هاوسدورف بیسکویچ» آن بزرگتر از بعد توپولوژیک است کلمه برخال را ایجاد کرد.
اولین تعریف ریاضی را از طریق شبیه سازی خالص کامپیوتری تشریح کرد.
مجموعه جولیا
برخالها از نظر روش مطالعه به برخالهای جبری و برخالهای احتمالی تقسیم می شوند. از طرف دیگر برخالها یا خود متشابه اند یا خود الحاق هستند. در مورد خود متشابه ای شکل جز شباهت محسوسی به شکل کل دارد این جز، در همه جهات به نسبت ثابتی رشد می کند و کل را به وجود می آورد. اما در خود الحاقی شکل جز در همه جهات به نسبت ثابتی رشد نمی کند. مثلا در مورد رودخانه ها و حوضه های آبریز بعد برخالی طولی متفاوت از بعد برخالی عرضی است
Vy = 51 – 52 و Vx = 72-74
لذا شکل حوضه آبریز کشیده تر از زیر حوضه های درون حوضه است. به خود متشابه ای همسانگرد می گویند. به خودالحاقی ناهمسانگرد می گویند.
گسترش رو به رشد رویکرد مونوفراکتالی (تک برخالی) اخیر، داده ها را با مجموعه فراکتالی، به جای بعد منفرد فراکتالی توصیف می کند. این مجموعه طیف چند برخالی نامیده می شود و روش توصیف تغییر پذیری بر اساس طیف سنجی چند برخالی به آنالیز چند برخالی معروف است. روش چند برخالی به اندازه خود متشابه ای آماری دلالت دارد که می تواند به صورت ترکیبی از مجموعه های متقاطع برخالی مطابق با نمای مقیاس گذاری نمایش داده شود. ترکیبی از همه مجموعه های برخالی طیف چند برخالیی را ایجاد می کند که تغییر پذیری و ناهمگنی متغیر مورد مطالعه را مشخص می کند. مزیت رویکرد چند برخالی این است که پارامترهای چند برخالی می توانند مستقل از اندازه موضوع مورد مطالعه باشند.