زنگ‌تفریح تصادفی

 زنگ‌تفریح‌های پربازدید
 آرشيو
 
 زنبورهای عسل و شش‌ضلعی‌های آن - قسمت اول
زنبورهای عسل و شش‌ضلعی‌های آن - قسمت اولزنگ تفريح رياضي
ریاضی‌دانان مجذوب ساختمان هندسی شانه‌های عسل شده‌اند که شامل تعداد زیادی حجره‌اند و مقطع عرضی آن‌ها به‌صورت شش‌ضلعی‌های منتظم در می‌آید...
زنگ‎تفریح شماره 130

زنبورهای عسل و شش‌ضلعی‌های آن - قسمت اول

 

 کار باارزش‌ترین چیز در دنیا است
همیشه بخشی از آن را برای فردا بگذارید
«دان هرالد»

 

 

     مقدمه

 

شانه‌ی عسل در داخل کندو از دیرباز مورد توجه انسان بوده است، فیلسوفان بزرگی مثل ارسطو، آن را مورد تحسین قرار داده‌اند و زیست‌شناسانی همچون Rene Reaumur  فرانسوی، به مطالعه و تجزیه تحلیل آن پرداخته‌اند. شاعران و نویسندگان از سازمان دقیق و شگفت‌آوری که در ساختن شانه‌های عسل و جمع‌آوری عسل وجود دارد، ستایش کرده اند.

 

از طرفی چون برای تهیه‌ی یک پوند عسل (هر پوند برابر 453.56 گرم است)، بیش از بیست هزار بار پرواز لازم است، تلاش حیرت‌آور زنبور عسل مورد تمجید واقع شده است. « زنبور کوچک، چقدر باید تلاش کند تا این نتیجه درخشان را به دست آورد!!».

 

ریاضی‌دانان مجذوب ساختمان هندسی شانه‌های عسل شده‌اند که شامل تعداد زیادی حجره‌اند و مقطع عرضی آن‌ها به‌صورت شش‌ضلعی‌ای منتظم در می‌آید. شش‌ضلعی‌های منتظم دارای این ویژگی است، که می‌توان صفحه را به کمک آنها، فرش کرد.

 

     سنگ‌فرش یا موزائیک

 

 

 

 

یک چندضلعی را سنگ‌فرش یا موزائیک می‌گوئیم وقتی که بتوان صفحه را با کنار هم قرار دادن آنها فرش کرد، بدون این که شکافی وجود داشته باشد و یا قطعه‌های سنگ‌فرش بر هم سوار شده باشند. پاپوس اسکندرانی درباره‌ی چنان شکل‌های هندسی مطالعه کرده است که می‌توانستند، احتمالا، جانشین شش‌ضلعی‌های کندوی عسل شوند. در این مقاله فرض بر این است که زنبورهای عسل با هنر و دوراندیشی هندسی خود، به این ساختمان منتظم رسیده‌اند و بر این پایه، امکان‌های مشابهی را ارائه خواهیم داد که زنبورهای عسل، قبل از انتخاب شش‌ضلعی‌های منتظم، به‌عنوان مقطع عرضی ساختمان کندوی خود، از آنها صرف‍نظر کرده‌اند.
 

     انواع سنگ فرش



- سنگ‌فرش با چندضلعی‌های منتظم


همان‌طور که پایوس گفته است، تنها سه نوع چندضلعی منتظم وجود دارد که می‌توان برای فرش کردن صفحه به کار گرفته شوند، این سه نوع چندضلعی منتظم، عبارتند از مثلث متساوی الاضلاع، مربع و شش‌ضلعی منتظم. البته باید توجه داشت که در اینجا صحبت بر سر فرش کردن صفحه با اشکال منتظم قابل انطباق است. یعنی همه‌ی چندضلعی‌ها، یک شکل و برابرند، درک این مطلب نیز آسان است که صفحه را می‌توان با مثلث متساوی‌الاضلاع هم‌نهشت و یا مربع‌های هم‌نهشت، هم‌فرش کرد.

 

این که چندضلعی منتظم دیگری وجود ندارد که بتوان به‌کمک آن، صفحه را پوشاند به‌سادگی و با توجه به زوایای داخلی آنها ثابت می‌شود.  رئوس n-ضلعی منتظم را P1, P2, …, Pn می‌نامیم. ضلع P1P2 را از طرف P2، ضلع P2P3  را از طرف P3 و ضلع P1Pn را از طرف P1 اندکی امتداد می‌دهیم. n زاویه‌ی خارجی n ضلعی به‎دست می‎آید. اگر اندازه‎ی یکی از زوایای داخلی را ϴ بگیریم، اندازه‌ی هر یک از زوایای خارجی برابر180-ϴ  درجه می‌شود. مجموع n زاویه‌ی خارجی برابر است با 360 درجه، بنابراین:

 

n (180-ϴ) = 360            ϴ=180° - 360/n                         (1)

 

اگر از n-ضلعی‌های منتظم هم‌نهشت، برای فرش کردن صفحه استفاده شود، باید در هر راس، زاویه‌ها دقیقا با هم جفت شوند، به‌نحوی که در آنجا، هیچ شکافی وجود نداشته باشد. اگر در یک راس فرش K مرتبه از اضلاع یک n‌-ضلعی استفاده شده باشد، آن وقت باید داشته باشیم Kϴ = 360°. اگر به جای ϴ دو برابر  Kϴ = 360°، مقدار آن را از برابری (1) قرار دهیم، به‌دست می‌آید:

 

K (180 - 360/n) = 360     K (1 - 2/n) = 2

 

این برابری را می‌توان به‌صورت مختلف نوشت، از جمله


K (n-2) = 2n, (K-2) (n-2) = 4


روشن است که باید 4 بر n-2 بخش‌پذیر باشد. از طرفی 4 تنها بر 1, 2, 4 بخش‌پذیر است پس تنها می‌توانیم داشته باشیم:

n-2 = 1 یا 2 و یا 4 است. که به‌دست می‌آید:
n=3 یا  4 یا 6 است.

به این ترتیب حکم مطلوب به‌دست می‌آید.

 


بنابراین برای ساختن کندوی عسل، زنبورها تنها می‌توانند از مثلث‌های متساوی‌الاضلاع، مربع‌ها و یا شش‌ضلعی‌های منتظم استفاده کنند. از میان این سه شکل، شش‌ضلعی منتظم بزرگ‌ترین نسبت هم‌پیرامونی را دارد، یعنی شش‌ضلعی‌های منتظم، بهترین نامزد از بین چند‌ضلعی‌های منتظم هستند.


ادامه دارد....


 

غلامرضا پورقلی
دانشجوی دکتری ریاضی
دانشگاه تهران

1391/4/17لينک مستقيم

فرستنده :
ناشناس HyperLink HyperLink 1391/8/27
مـتـن : بسیار بسیار عالی بود
پاسـخ : خواهش می کنم دوست من. لطف دارید شما. پیروز باشید.

فرستنده :
مارال HyperLink HyperLink 1391/8/27
مـتـن : واقعا عالی بود(اثبات اینکه فقط از سه شکل منتظم برای فرش کردن یک سطح دو بعدی استفاده میشه)
پاسـخ : متشکر از لطف شما. موفق باشید.

فرستنده :
ناشناس HyperLink HyperLink 1391/5/19
مـتـن : what's the question?
پاسـخ : سوال خیلی ساده و در عین حال اساسی است. چرا زنبور خانه‌ی خود را به این شکل می‌سازد؟ چرا مربعی نیست؟!! اصلا چرا منظم است و تقارن دارد؟ فایده‌ی این تقارن در چیست که قرن‌ها زنبورها خانه‌ی خود را به این شکل می‌سازد. این سوال در مورد همه چیز می‌تواند مطرح شود و ریاضیات، فیزیک و سایر علوم به خاطر پاسخ به این سوال‌ها شکل گرفته‌اند.

نظر شما پس از تاييد در سايت قرار داده خواهد شد
نام :
پست الکترونيکي :
صفحه شخصي :
نظر:
تاییدانصراف
 
 المپياد رياضي

 

     

 

 

صفحه‌ي اصلي

     

 

راهنماي سايت

     

 

 

آموزش

     

 

بانك سوال

     

 

 

مسابقه

     

 

 

زنگ تفريح

     

 

 

مصاحبه و گزارش

     

 

 

معرفي كتاب

     

 

 

مشاوره

     

 

 

پرسش‌و‌پاسخ‌علمي

     

 

اخبار

     

 

فعاليت‌هاي علمي

 بازديدها
كاربران غيرعضو آنلاينكاربران غيرعضو آنلاين:  7240
 كاربران عضو آنلاين:  0
  کل كاربران آنلاين:  7240