زنگ‌تفریح تصادفی

 زنگ‌تفریح‌های پربازدید
 آرشيو
 
 یک ویژگی در بیضی 
یک ویژگی در بیضی زنگ تفريح رياضي
زنگ تفریح شماره ۱۴۵

 

 

 

  مقدمه

 

 

 

 

 

ویژگی بازتاب، یکی از ویژگی‌های مهم و برجسته‌ی بیضی است. از آن‌جا که اثبات‌ این ویژگی، از طریق حساب دیفرانسیل و انتگرال اغلب کسل‌کننده است، بنابراین، ما در اینجا، اثبات بسیار کوتاه و زیبایی با استفاده از مشتق می‌آوریم. اثبات ما به طور تعجب‌آوری ساده و کاملا با استفاده از فرمول

 EP = a - ex است.


 

 

  اثبات

 

 

 

 

 

فرمول EP = a - ex (رابطه‌ی 1) برای فاصله هر نقطه P به مختصات (x, y) روی بیضی از کانون F در جهت مثبت محور xها استوار است. رابطه‌ی (1) را به آسانی می‌توان از رابطه‌های شناخته شده در بیضی، یعنی: x2/a2 + y2/b2 =1، a2=b2+c2 و c/a=e به دست آورد. برای این کار خواهیم داشت:

 

 

 

با توجه به اینکه در بیضی x≤a و  e<1 برقرار است، بنابراین معادله‌ی 1 به‌دست می‌آید. با تعویض علامت C، با روش مشابه بالا، خواهیم داشت:

 

رابطه‌ی (۲)            F'P = a + ex 

 

ما همچنین، می‌توانستیم فرمول (2) را از فرمول (1) با توجه به تعریف بیضی، یعنی PF+PF'=2a به دست بیاوریم. و توجه داریم، که از ویژگی معلوم محور کانونی بیضی، FP/PD=e، رابطه (1) خیلی ساده‌تر به روش زیر قابل اثبات است: می‌دانیم که چون:

 

 a-c)/(d-a) = e)  که d=a/e،

 

بنابراین: FP=e.PD=e(d-x)=a-ex ، و به روش مشابه، F'P=a+ex.

و برعکس، از رابطه‌ی 1، ویژگی محور کانونی را می‌توان به دست آورد.

 

در حقیقت، قرار بدهیم، d=a/e، FP=a-ex=ed-ex=e.PD.

 

فرض می‌کنیم، (x0,y0) نقطه‌ی ثابتی بر بیضی، و (x, y) نقطه‌ی متغیری بر خط مماس بر بیضی باشد، حال به ویژگی بازتاب بر می‌گردیم:

 


مختصات نقطه P را به صورت (x0,y0) نشان می‌دهیم، معادله‌ی خط مماس بر بیضی در نقطه‌ی P به صورت زیر است:

 

 

که باتوجه به شکل، مختصات نقطه‌ی R به صورت (a2/x0 ,0) است. حالا با استفاده از رابطه‌های 1 و 2 محاسبه می کنیم:


با توجه به قانون سینوس‌ها، در مثلث FRP و استفاده از رابطه‌ی (3) خواهیم داشت:

 


و به روش مشابه، با استفاده از رابطه‌ی (4) و قانون سینوس‌ها برای مثلث F'RP  نتیجه می‌گردد:

 

 

 


بنابراین sinQ = sinΨ، و با توجه به 0≤Q+Ψ<π  نتیجه می‌گردد Q=Ψ است.


غلامرضا پورقلی

دانشجوی دکتری ریاضی
دانشگاه تهران

1391/8/6لينک مستقيم

فرستنده :
سرگردون HyperLink HyperLink 1391/9/20
مـتـن : با سلام من دانش اموز رشته ی ریاضی هستم می خواستم در بارهی بیضی مفهومی تر و ملموس تر بفهمم طوری که فرمولها رو بفهمم به همون سادگیه فهمیدن فرمول مساحت مربع.با تشکر
پاسـخ : سلام. برای فهمیدن مطالبی در مورد بیضی که مقدماتی بوده و راه را برای مطالعات پیشرفته تر باز می کنند بهتر است به کتاب های هندسه ی تحلیلی مراجعه کنید. برای مثال کتاب هندسه‌ي تحلیلی و جبر خطی مؤلفان: حمیدرضا امیری ـ یدا... ایلخانی‌پور منبع مناسبی می تواند باشد. موفق باشید.

نظر شما پس از تاييد در سايت قرار داده خواهد شد
نام :
پست الکترونيکي :
صفحه شخصي :
نظر:
تاییدانصراف
 
 المپياد رياضي

 

     

 

 

صفحه‌ي اصلي

     

 

راهنماي سايت

     

 

 

آموزش

     

 

بانك سوال

     

 

 

مسابقه

     

 

 

زنگ تفريح

     

 

 

مصاحبه و گزارش

     

 

 

معرفي كتاب

     

 

 

مشاوره

     

 

 

پرسش‌و‌پاسخ‌علمي

     

 

اخبار

     

 

فعاليت‌هاي علمي

 بازديدها
كاربران غيرعضو آنلاينكاربران غيرعضو آنلاين:  4235
 كاربران عضو آنلاين:  0
  کل كاربران آنلاين:  4235