مقدمه

احتمال اینکه دو عدد صحیح مثبت که به تصادف انتخاب شده‌اند، نسبت به هم اول باشند، برابر با  است. احتمالا چارتر مشهور، در حدود سال ۱۹۰۴ این حکم ریاضی را به طور تجربی آزموده است، به این ترتیب که به هریک از پنجاه شاگردش گفت پنج جفت عدد صحیح مثبت را به طور تصادفی بنویسند. از میان ۲۵۰ جفت عددی که به این طریق به‌دست آمد، ۱۵۴ جفت نسبت به هم اول بودند و احتمال برابر ۲۵۰/۱۵۴ بود. او این نسبت را برابر گرفت و به‌دست آورد x=3.12، و می‌دانیم که π=3.14159…  است.

این موضوع شگفت‌آور است، این‌که انتخاب تصادفی جفت‌هایی از اعداد صحیح مثبت بتواند ارتباطی با عدد p داشته باشد، دور از تصور است. چشم‌انداز محاسبه‌ی عملی مقدار p از طریق آزمایش‌های تکراری، که ضمن آن‌ها تولیدکننده‌ی جفت‌های اعداد صحیح نمی‌داند از این جفت‌ها چه استفاده‌ای می شود، به کلی باورنکردنی به نظر می‌رسد.

ریاضیاتی که برای نشان دادن تساوی احتمال فوق با   لازم است، فراتر از محدوده‌ای است که برای بحث قائل شده‌ایم. با این حال اگر دخالت p در چنین نتایجی شگفت‌آور است، ملاحظه مثال ساده‌ی زیر این شگفتی را برطرف می‌کند.

یک مثال

اگر دو عدد صحیح مثبت x و y هر دو کوچک‌تر از 1، به تصادف انتخاب و نوشته شوند، احتمال اینکه همراه با عدد 1، یک سه‌تایی (x, y, 1) از اعداد به دست آید که اضلاع یک مثلث منفرج‌الزاویه باشند، برابر با  است. ابتدا ملاحظه می‌کنیم که هر جفت از اعداد x و y نقطه‌ای چون ‌P(x, y)  را در مربع واحد مشخص می‌کنند (شکل 1) که مختصاتش (x, y) است. چون هر یک از مختصات به تصادف از بازه‌ی واحد انتخاب می‌شود، احتمال قرار گرفتن نقطه متناظر P(x, y)  در هر جای مربع یکی است. به بیان دقیق‌تر احتمال اینکه P در داخل ناحیه‌ای مانند G از مربع قرار گیرد، برابر است با نسبت مساحت G به مساحت کل مربع. چون مساحت مربع مساوی با یک است، احتمال قرار گرفتن P در G برابر مساحت G است.

شکل ۱

اکنون مثلثی به اضلاع x، y  و 1 در نظر می‌گیریم (شکل 2) هر یک از ضلع‌های x و y که هر دو از یک کوچک‌ترند، از ضلع BC=1 کوچک‌تر است. چون بزرگ‌ترین زاویه‌ی مثلث مقابل به بزرگ‌ترین ضلع است، می‌بینیم که زوایای B و C کوچک‌تر از زاویه‌ی A هستند. و چون فقط یک زاویه‌ی هر مثلث می‌تواند منفرجه باشد، در مثلث ABC اگر چنین زاویه‌ای وجود داشته باشد، زاویه‌ی A است.
 

شکل ۲

حال برای اینکه طول‌های x و y  و 1 هر نوع مثلثی تشکیل دهند، مجموع هر دو تا از آن‌ها باید بیشتر از سومی باشد. واضح است که برای هر x و y دربازه‌ی (۱, ۰) دو رابطه‌ی

1+y > x        و    ۱+x > y

برقرارند. پس شرط اینکه مثلثی تشکیل شود، به‌صورت:

x+y > 1        (معادله‌ی1 )

خلاصه می‌شود.

اگر معادله‌ی (1) برقرار باشد، (x, y, 1) مثلثی به دست خواهد آمد، ولی چنین مثلثی ممکن است حادالزاویه، قائم‌الزاویه و یا منفرج‌الزاویه باشد. برای ملاحظه‌ی این مطلب که نوع زاویه بستگی به مقدار x²+y² دارد، قانون کسینوس‌ها را در مثلث ABC به کار می‌بریم و به دست می‌آوریم

x²+y² = 1+2xy.cos A
یا
1² = x²+y²-2xy.cos A

اگر A زاویه‌ای منفرجه باشد، cos A منفی است، در غیر این‌صورت چنین نیست. پس شرط اینکه ∆ABC منفرج‌الزاویه باشد، این است که

x²+y²<10           (معادله‌ی 2)

حال نقاط (x, y)ی که در نابرابری  x+y>1 صدق می‌کند در بالای قطر AB از مربع واحدقرار دارند (شکل 3). و نقاطی که در نابرابری (2) صادق‌اند در داخل دایره‌ی واحد واقع هستند. پس همچنانکه دیده می‌شود، مجموعه‌ی نقاطی که هم در (1) و هم در (2) صدق می‌کنند، در ناحیه‌ی سایه‌دار بین ربع دایره و قطر قرار دارند. بنابراین، احتمال اینکه (x, y, 1) مثلث منفرج‌الزاویه-ای را به‌دست دهد، عبارت است از

مساحت مثلث AOB- مساحت ربع دایره‌ی AOB = مثلث قطعه‌ی ABC

شکل ۳