قضیه‌ی چهاررنگ یا حدس چهاررنگ از مسائل مشهور و قدیمی ریاضیات است که سال‌ها اثبات نشده مانده بود. به بیان ساده (و نادقیق) این قضیه می‌گوید:

سه رنگ برای نقشه‌های ساده‌تر کافیست ولی یک رنگ چهارم اضافی برای برخی نقشه‌ها لازم است. مثل نقشه‌هایی که در آن‌ها یک ناحیه با تعداد فرد نواحی دیگر احاطه شده‌است که به یکدیگر در یک دایره وصل هستند.

قضیه ۵ رنگ که اثباتی کوتاه و ابتدایی دارد، بیان می‌کند که ۵ رنگ برای رنگ آمیزی نقشه کافیست. این قصیه در اواخر قرن ۱۹ اثبات شده است (هیووو ۱۸۹۰).

اثبات اینکه ۴ رنگ کافیست بسیار سخت‌تر است. تعدادی اثبات‌های غلط و مثال‌های نقض از زمان ارائه قضیه ۴ رنگ در ۱۸۵۲ بیان شده اند. این مسئله به صورت معادله ابتدا درسال۱۸۵۲ عنوان شد و سرانجام در سال ۱۹۷۶ با کمک رایانه توسط کی اپل (Appel) و و. هیکن (Haken) حل شد. این اولین قضیه مهمی بود که با استفاده از کامپیوتر به اثبات رسید. آنها نشان دادند که مجموعه‌ای از ۱۹۳۶ نقشه وجود دارد که هیچ کدام از آنها نمی‌توانند قسمتی از یکی از کوچکترین مثال نقض های قضیه چهار رنگ باشند.

اپل و هیکن از یک برنامه کامپیوتری خاص منظوره استفاده کردند تا ثابت کنند هیچ کدام از این نقشه ها از این قاعده مستثنا نیستند. علاوه بر این هر نقشه ای فارغ از این که مثال نقض هست یا نه، حتما قسمتی را شامل می شود که شبیه یکی از آن ۱۹۳۶ نقشه می‌باشد و اثبات این نیاز به صدها صفحه تحلیل دست نویس بود. اپل و هیکن نتیجه گرفتند که اگر بخواهد کوچکترین مثال نقضی وجود داشته باشد باید شامل یکی از آن ۱۹۳۶ نقشه باشد. این تناقض به این معنی بود که هیچ مثال نقضی وجود ندارد و قضیه درست می‌باشد. در ابتدا اثبات آن‌ها از طرف همه ریاضی‌دان‌ها مورد تایید واقع نشد، چرا که چک کردن یک اثبات کامپیوتری توسط انسان امکان پذیر نبود (Swart, 1989) .

مثالی از یک نقشه‌ی چهاررنگ

به نقشه ي زيباي كشورمان ايران توجه كنيد. روي اين نقشه، هر استان به رنگي نمايش داده شده است. به علاوه دقت كنيد، هيچ دو استان مجاور، به رنگ يكسان نيستند.

اگر بخواهيم ناحيه اي از صفحه را كه به بخش هاي مجزا و مجاورِ هم تقسيم شده اند، به گونه‌اي رنگ كنيم كه هيچ دو ناحيه‌ي مجاور به رنگ يكسان نباشند، حداكثر به چهار رنگ متفاوت نياز است.

این مساله (حدس) اولین بار در سال ۱۸۵۲ مطرح شد. در آن هنگام فرانسیس گاتری (Francis Guthrie) مشغول رنگ‌آمیزی نقشه انگلستان بود که متوجه شد چهار رنگ برای این کار کافیست. فرانسیس این موضوع را با برادرش فردریک مطرح کرد، که بعدا وی آن را به پیش دِمُرگان برد. اولین منبع منتشر شده از آرتور کیلی است.

Francis Guthrie

تلاش‌های ناموفق بسیاری برای اثبات این قضیه انجام شده است. اثبات آلفرد کمپه در سال ۱۸۷۹ که بسیار مورد قبول واقع شد و اثبات دیگری که پیتر گاتری تیت در ۱۸۸۰ مطرح کرد، همگی از این دست بودند. هر دوی این اثبات‌های اشتباه، ۱۱ سال بعد از مطرح شدنشان به ترتیب توسط پرسی هیوود و ژولیوس پترسن نقض شدند.